Se
pessoas estão presentes em uma sala de reunião, qual a probabilidade de que nenhum par de pessoas celebrem aniversário no mesmo dia do ano? Qual o tamanho de
para que essa probabilidade seja menor que
? E se tivermos 50 pessoas na turma, qual seria a probabilidade?
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede é:
- Calcular a probabilidade de que, num grupo de
pessoas, não haja duas com aniversário no mesmo dia (assumindo ano de 365 dias, sem ano bissexto). - Descobrir para que valor de
essa probabilidade fica abaixo de . - Calcular essa probabilidade quando
.
Conteúdo: probabilidade básica (princípio multiplicativo e contagem de casos favoráveis vs. casos totais). Vamos usar o fato de que, para dois eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.
Passo 2
Primeiro, a fórmula da probabilidade de nenhum aniversário coincidir.
- Imagine a pessoa 1: ela pode nascer em qualquer um dos 365 dias, então a probabilidade de “não colidir” até aqui é
. - A pessoa 2 não pode nascer no mesmo dia da 1, então tem
dias válidos de , probabilidade . - A pessoa 3 não pode nascer nos dias das primeiras duas, fica
, e assim por diante.
Portanto, para
pessoas:
Passo 3
Agora, queremos saber para que
isso fica menor que
. A gente vai aumentando
e calculando essa expressão até passar de 50% para menos de 50%:
-
Para
, -
Para
,
Então, a partir de 23 pessoas, a chance de todo mundo ter aniversário em dias diferentes cai abaixo de 50%.
Passo 4
Por fim, se tivermos
, substituímos na mesma fórmula:
Se você calcular (ou usar uma calculadora/programinha), dá aproximadamente
Resposta
- A probabilidade de não haver aniversários iguais em um grupo de
pessoas é
- O menor
que faz é 23. - Para
, (cerca de 2,93%).