Se n pessoas estão presentes em uma sala de reunião, qual a probabilidade de que nenhum par de pessoas celebrem aniversário no mesmo dia do ano? Qual o tamanho de n para que essa probabilidade seja menor que 12? E se tivermos 50 pessoas na turma, qual seria a probabilidade?

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é:
  1. Calcular a probabilidade de que, num grupo de pessoas, não haja duas com aniversário no mesmo dia (assumindo ano de 365 dias, sem ano bissexto).
  2. Descobrir para que valor de essa probabilidade fica abaixo de .
  3. Calcular essa probabilidade quando .
Conteúdo: probabilidade básica (princípio multiplicativo e contagem de casos favoráveis vs. casos totais). Vamos usar o fato de que, para dois eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.

Passo 2

Primeiro, a fórmula da probabilidade de nenhum aniversário coincidir.
  • Imagine a pessoa 1: ela pode nascer em qualquer um dos 365 dias, então a probabilidade de “não colidir” até aqui é P(nenhuma colisão) = 365365times364365times363365timescdotstimes365-(n-1)365 = prodi=0^n-1365 - i365 .
  • A pessoa 2 não pode nascer no mesmo dia da 1, então tem dias válidos de , probabilidade .
  • A pessoa 3 não pode nascer nos dias das primeiras duas, fica , e assim por diante.
Portanto, para pessoas:
ã

Passo 3

Agora, queremos saber para que P22 approx 0,5243 > 0,5 isso fica menor que P23 approx 0,4927 < 0,5 . A gente vai aumentando e calculando essa expressão até passar de 50% para menos de 50%:
  • Para ,
  • Para ,
Então, a partir de 23 pessoas, a chance de todo mundo ter aniversário em dias diferentes cai abaixo de 50%.

Passo 4

Por fim, se tivermos P50 = prodi=0^49365 - i365 , substituímos na mesma fórmula:
P50 approx 0,0293 (ou 2,93%)
Se você calcular (ou usar uma calculadora/programinha), dá aproximadamente

Resposta

  1. A probabilidade de não haver aniversários iguais em um grupo de pessoas é
  2. O menor que faz é 23.
  3. Para , (cerca de 2,93%).

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