Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=12, P(B)=14 e P(A mid B)=13. Calcule:
a) P(barA);
b) P(A cap B);
c) P(A cup B).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos dois eventos, $ A $ e $ B $, com as seguintes probabilidades:
  • $ P(A) = \frac{1}{2} $
  • $ P(B) = \frac{1}{4} $
  • $ P(A \mid B) = \frac{1}{3} $ (probabilidade de $ A $ dado que $ B $ aconteceu)
A pergunta quer que a gente calcule três coisas:
a) A probabilidade de $ A $ não acontecer, $ P(\bar{A}) $
b) A probabilidade de os dois eventos acontecerem juntos, $ P(A \cap B) $
c) A probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer, $ P(A \cup B) $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como probabilidade complementar, probabilidade condicional e as fórmulas de união e interseção de eventos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) $ P(\bar{A}) $.
A probabilidade complementar de um evento é simplesmente 1 menos a probabilidade do evento acontecer. Isso porque a soma das probabilidades de um evento acontecer e não acontecer é sempre 1.
Então, temos:
P(barA)

Passo 3

Agora, substituindo o valor de $ P(A) $:
P(A)

Passo 4

Seguimos para a parte b) $ P(A \cap B) $.
A probabilidade de $ A $ e $ B $ acontecerem juntos pode ser encontrada usando a probabilidade condicional:
P(A cap B)
Isso porque $ P(A \mid B) $ nos diz a probabilidade de $ A $ acontecer após $ B $.

Passo 5

Substituindo os valores:
P(A cap B) = 13 times 14 = 112

Passo 6

Finalmente, vamos para a parte c) $ P(A \cup B) $.
A probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer é dada pela soma das probabilidades dos eventos individuais menos a probabilidade de ambos acontecerem juntos:
P(A cup B)
Isso evita que a interseção seja contada duas vezes.

Passo 7

Substituindo os valores que já conhecemos:
P(A cup B) = 12 + 14 - 112
Para somar essas frações, vamos trazer todas para um denominador comum, que é 12:
12 = 612, 14 = 312
Então:
P(A cup B) = 612 + 312 - 112 = 812 = 23

Resposta

a) $ P(\bar{A}) = \frac{1}{2} $
b) $ P(A \cap B) = \frac{1}{12} $
c) $ P(A \cup B) = \frac{2}{3} $

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