Sejam
e
dois eventos tais que
e
. Calcule:
a)
;
b)
;
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos dois eventos, $ A $ e $ B $, com as seguintes probabilidades:
- $ P(A) = \frac{1}{2} $
- $ P(B) = \frac{1}{4} $
- $ P(A \mid B) = \frac{1}{3} $ (probabilidade de $ A $ dado que $ B $ aconteceu)
A pergunta quer que a gente calcule três coisas:
a) A probabilidade de $ A $ não acontecer, $ P(\bar{A}) $
b) A probabilidade de os dois eventos acontecerem juntos, $ P(A \cap B) $
c) A probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer, $ P(A \cup B) $
a) A probabilidade de $ A $ não acontecer, $ P(\bar{A}) $
b) A probabilidade de os dois eventos acontecerem juntos, $ P(A \cap B) $
c) A probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer, $ P(A \cup B) $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como probabilidade complementar, probabilidade condicional e as fórmulas de união e interseção de eventos.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) $ P(\bar{A}) $.
A probabilidade complementar de um evento é simplesmente 1 menos a probabilidade do evento acontecer. Isso porque a soma das probabilidades de um evento acontecer e não acontecer é sempre 1.
Então, temos:
Passo 3
Agora, substituindo o valor de $ P(A) $:
Passo 4
Seguimos para a parte b) $ P(A \cap B) $.
A probabilidade de $ A $ e $ B $ acontecerem juntos pode ser encontrada usando a probabilidade condicional:
Isso porque $ P(A \mid B) $ nos diz a probabilidade de $ A $ acontecer após $ B $.
Passo 5
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, vamos para a parte c) $ P(A \cup B) $.
A probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer é dada pela soma das probabilidades dos eventos individuais menos a probabilidade de ambos acontecerem juntos:
Isso evita que a interseção seja contada duas vezes.
Passo 7
Substituindo os valores que já conhecemos:
Para somar essas frações, vamos trazer todas para um denominador comum, que é 12:
Então:
Resposta
a) $ P(\bar{A}) = \frac{1}{2} $
b) $ P(A \cap B) = \frac{1}{12} $
c) $ P(A \cup B) = \frac{2}{3} $