em Mn(R).
O conteúdo principal é uso do teorema de Laplace (expansão de determinantes) para matrizes tridiagonais e a obtenção de uma relação de recorrência para det An.
Passo 2
Definimos
Calculamos os casos iniciais:
Para , logo
Para ,
então
Passo 3
Para n>=3, expandimos Dn=det An pela primeira linha. Só o elemento a em (1,2) é não-nulo, então
onde B é a matriz de ordem n-1 obtida retirando a linha 1 e a coluna 2 de An.
Agora expandimos det B pela primeira coluna de B. Só o elemento b em (1,1) é não-nulo, logo
det B =sumi=1^n-1(-1)^i+1bi1det(retira i,1) =(-1)^1+1,b;det C =b;det C,
onde C é a matriz de ordem n-2 que, convenientemente, é exatamente An-2. Portanto
Dn=-a,(b,det An-2) =-ab,Dn-2
Passo 4
Temos a recorrência
Dn=-ab,Dn-2,
com D1=0 e D2=-ab.
Por indução segue que, para n=2m+1 ímpar,
D2m+1=(-ab)^mD1=(-ab)^mcdot0=0,
e para n=2m par,
D2m=(-ab)^m-1D2=(-ab)^m-1(-ab)=(-ab)^m
Resposta
det An=0 se n é ímpar, e det A2m=(-ab)^m quando n=2m.