Utilizando a regra de Cramer, resolva o seguinte sistema linear
x-y-z & =4 x+2 y-z & =2 2 x & =1

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três incógnitas x,y,z e pede para resolver usando a regra de Cramer. Isso implica montar a matriz dos coeficientes
A = 1 & -1 & -1 1 & 2 & -1 2 & 0 & 0
e calcular seu determinante principal D=det(A). Em seguida, para cada incógnita substituímos a coluna correspondente pelos termos independentes e calculamos determinantes Dx, Dy e Dz. Por fim, temos
x = DxD, y = DyD, z = DzD

Passo 2

Vamos calcular o determinante principal
D=det 1 & -1 & -1 1 & 2 & -1 2 & 0 & 0
Expandindo pela primeira linha:
D =1cdotdet2 & -10 & 0 -(-1)cdotdet1 & -12 & 0 +(-1)cdotdet1 & 22 & 0
Cada termo vale
1,(2cdot0 -(-1)cdot0)=0, +1,(1cdot0 -(-1)cdot2)=2, -1,(1cdot0-2cdot2)=4,
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D = 0 + 2 + 4 = 6

Passo 3

Agora substituímos a primeira coluna pelos termos constantes (4,2,1) para obter Dx:
Dx=det 4 & -1 & -1 2 & 2 & -1 1 & 0 & 0 =4det2 & -10 & 0 -(-1)det2 & -11 & 0 +(-1)det2 & 21 & 0
Calculando:
4cdot0 ;+;1,(2cdot0-(-1)cdot1);+;(-1)(2cdot0-2cdot1) =0 +1 -(-2)=3,
então
Dx = 3

Passo 4

Substituímos a segunda coluna pelos termos constantes para Dy:
Dy=det 1 & 4 & -1 1 & 2 & -1 2 & 1 & 0 =1det2 & -11 & 0 -4det1 & -12 & 0 +(-1)det1 & 22 & 1
Isso dá
1,(2cdot0-(-1)cdot1) -4,(1cdot0-(-1)cdot2) -1,(1cdot1-2cdot2) =1 -8 +3 = -4,
portanto
Dy = -4

Passo 5

Para Dz substituímos a terceira coluna:
Dz=det 1 & -1 & 4 1 & 2 & 2 2 & 0 & 1 =1det2 & 20 & 1 -(-1)det1 & 22 & 1 +4det1 & 22 & 0
Calculando:
1,(2cdot1-2cdot0) +1,(1cdot1-2cdot2) +4,(1cdot0-2cdot2) =2 -3 -16 = -17,
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Dz = -17

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x = DxD = 36 = 12, y = DyD = -46 = -23, z = DzD = -176

Resposta

x = tfrac12, y = -tfrac23, z = -tfrac176

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