As matrizes
A=(ccc 2 & -3 & 1 1 & 0 & 2 0 & -1 & -3 ), B=(ccc 2 & 1 & 7 -1 & 4 & 10 3 & 2 & 12 )
são inversivel? Em caso afirmativo encontre A^-1 e/our B^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = 2 & -3 & 1 1 & 0 & 2 0 & -1 & -3 , B = 2 & 1 & 7 -1 & 4 & 10 3 & 2 & 12
e pede para verificar se cada uma é invertível (ou seja, determinar se o seu determinante é diferente de zero) e, em caso afirmativo, calcular a inversa. Para isso, vamos usar o critério de invertibilidade via determinante e, quando possível, o método do adjunto (matriz de cofatores transposta) para encontrar a inversa.

Passo 2

Calculamos o determinante de A pela regra de Laplace na primeira linha:
det(A) =2det0&2-1&-3 -(-3)det1&20&-3 +1det1&00&-1
Agora cada menor:
det0&2-1&-3 =0cdot(-3)-2cdot(-1)=2,
det1&20&-3 =1cdot(-3)-2cdot0=-3,
det1&00&-1 =1cdot(-1)-0cdot0=-1
Substituindo,
det(A)=2cdot2 -(-3)cdot(-3) +1cdot(-1) =4 -9 -1 = -6

Passo 3

Como det(A)=-6neq0, A é invertível. Para achar A^-1 usamos
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz de cofatores de A.

Passo 4

Calculamos a matriz de cofatores C, elemento a elemento:
C = C11&C12&C13 C21&C22&C23 C31&C32&C33 = 2 & 3 & -1 -10 & -6 & 2 -6 & -3 & 3 ,
depois transpondo para obter adj(A):
adj(A) = C^T = 2 & -10 & -6 3 & -6 & -3 -1 & 2 & 3
Logo
A^-1 =1-6 2 & -10 & -6 3 & -6 & -3 -1 & 2 & 3 = -1/3 & 5/3 & 1 -1/2 & 1 & 1/2 1/6 & -1/3& -1/2

Passo 5

Agora calculamos det(B) também pela primeira linha:
det(B) =2det4&102&12 -1det-1&103&12 +7det-1&43&2
Os menores são
det4&102&12 =4cdot12-10cdot2=28,
det-1&103&12 =(-1)cdot12-10cdot3=-42,
det-1&43&2 =(-1)cdot2-4cdot3=-14
Substituindo,
det(B)=2cdot28 -1cdot(-42) +7cdot(-14) =56 +42 -98 =0

Passo 6

Como det(B)=0, B não é invertível e, portanto, B^-1 não existe.

Resposta

A é invertível e
A^-1 = -1/3 & 5/3 & 1 -1/2 & 1 & 1/2 1/6 & -1/3& -1/2
B não é invertível ( det(B)=0), logo B^-1 não existe.

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