Encontre uma solução para a seguinte equação diferencial que passe pelo ponto indicado.
x d yd x=y^2-y
(-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução da equação diferencial xdydx=y^2-yque passe pelo ponto (-1,2). O conteúdo envolvido é equação de variáveis separáveis e vamos precisar usar separação de variáveis e integração por frações parciais.

Passo 2

Vamos separar as variáveis. Primeiro escrevemos
dyy(y-1)=dxxe agora decomponho em frações parciais:
1y(y-1)=-1y+1y-1

Passo 3

Integrando ambos os lados:
integrall(-1y+1y-1r)dy=integraldxx,o que dá
-ln|y|+ln|y-1|=ln|x|+Ce, portanto, em forma implícita,
lnl|y-1yr|=ln|x|+C

Passo 4

Isolando, definimos K=e^C e obtemos
y-1y=KxLongrightarrow y=11-Kx

Passo 5

Aplicamos a condição inicial x=-1,,y=2:
2=11+Kimplies1+K=tfrac12implies K=-tfrac12

Passo 6

Substituindo de volta:
y=11-l(-tfrac12r)x=11+tfracx2=2x+2

Resposta

A solução que passa por (-1,2) é y=tfrac2x+2.

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