Seja
uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(c) Se
são linearmente dependentes, então os vetores
são linearmente dependentes.
(c) Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
e que três vetores
são linearmente dependentes. Precisamos decidir se isso implica que
também são linearmente dependentes. O conteúdo envolvido é definição de dependência linear e propriedade de linearidade de
, especialmente que
.
Passo 2
Lembrando a definição: vetores
são linearmente dependentes se existem escalares
, não todos zero, tais que
Passo 3
Como
é linear, ela respeita combinações lineares. Aplicando
na relação acima obtemos
Passo 4
Mas
. Logo
com
não todos nulos. Isso mostra exatamente que
são linearmente dependentes.
Resposta
Verdadeiro.