Seja T: V U uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(c) Se u, v, w in V são linearmente dependentes, então os vetores T(u), T(v), T(w) in U são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear Tcolon Vto U e que três vetores u,v,win V são linearmente dependentes. Precisamos decidir se isso implica que T(u),T(v),T(w) também são linearmente dependentes. O conteúdo envolvido é definição de dependência linear e propriedade de linearidade de T, especialmente que T(0)=0.

Passo 2

Lembrando a definição: vetores u,v,w são linearmente dependentes se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos zero, tais que
alpha,u + beta,v + gamma,w = 0

Passo 3

Como T é linear, ela respeita combinações lineares. Aplicando T na relação acima obtemos
T(alpha,u + beta,v + gamma,w) = alpha,T(u) + beta,T(v) + gamma,T(w)

Passo 4

Mas T(alpha,u + beta,v + gamma,w) = T(0) = 0. Logo
alpha,T(u) + beta,T(v) + gamma,T(w) = 0
com alpha,beta,gamma não todos nulos. Isso mostra exatamente que T(u),T(v),T(w) são linearmente dependentes.

Resposta

Verdadeiro.

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