Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) duas bases tais que f1=2 e1-e3, f2=e2+2 e3 e f3=7 e3. Exprima o vetor u=f1+f2+f3 na base E.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases
E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3)
e
F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3)
de um espaço vetorial, com
overrightarrow f1=2overrightarrow e1-overrightarrow e3,
overrightarrow f2=overrightarrow e2+2overrightarrow e3 e
overrightarrow f3=7overrightarrow e3.
Pede-se expressar
vec u=overrightarrow f1+overrightarrow f2+overrightarrow f3
na base E. Vamos usar mudança de base: escrevemos cada overrightarrow fi em função de overrightarrow ej e somamos.

Passo 2

Substituindo
vec u =overrightarrow f1+overrightarrow f2+overrightarrow f3 =(2overrightarrow e1-overrightarrow e3) +(overrightarrow e2+2overrightarrow e3) +(7overrightarrow e3),
agregamos termos semelhantes em overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3:
  • Coeficiente de overrightarrow e1: 2.
  • Coeficiente de overrightarrow e2: 1.
  • Coeficiente de overrightarrow e3: -1+2+7=8.
    Logo
vec u=2overrightarrow e1+1overrightarrow e2+8overrightarrow e3

Resposta

vec u=2overrightarrow e1+overrightarrow e2+8overrightarrow e3

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