Determine o gradiente nabla f e a Hessiana Hf da função dada, em volta do ponto ( x0, y0 ) dado.
f(x, y)=e^x+5 y e (x0, y0)=(0,0).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^x+5y e queremos encontrar seu gradiente nabla f e sua Hessiana Hf no ponto (x0,y0)=(0,0). Para isso vamos usar derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais de primeira ordem, aplicamos a regra da cadeia em e^x+5y. Assim,
partial fpartial x(x,y)=e^x+5y, partial fpartial y(x,y)=5e^x+5y
O gradiente é o vetor que reúne essas derivadas parciais:
$$\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} \
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
e^{x+5y} \
5e^{x+5y}
\end{pmatrix}.$$

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas de segunda ordem para montar a Hessiana. Aplicando a regra da cadeia de novo, obtemos
fxx(x,y)=e^x+5y, fxy(x,y)=5e^x+5y, fyy(x,y)=25e^x+5y
A Hessiana Hf(x,y) é a matriz das segundas derivadas parciais:
Hf(x,y)= fxx & fxy fyx & fyy = e^x+5y & 5e^x+5y 5e^x+5y & 25e^x+5y

Passo 4

Por fim, avaliamos em (0,0), lembrando que e^0=1:
$$\nabla f(0,0)= nabla f(0,0)=1 5, Hf(0,0)=1 & 5 5 & 25, \quad
H_f(0,0)= .$$

Resposta

nabla f(0,0)=15 e Hf(0,0)=1 & 55 & 25.

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