Determine o gradiente
e a Hessiana
da função dada, em volta do ponto (
) dado.
e
.
Passo 1
Temos a função
e queremos encontrar seu gradiente
e sua Hessiana
no ponto
. Para isso vamos usar derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Para achar as derivadas parciais de primeira ordem, aplicamos a regra da cadeia em
. Assim,
O gradiente é o vetor que reúne essas derivadas parciais:
$$\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} \
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
e^{x+5y} \
5e^{x+5y}
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
e^{x+5y} \
5e^{x+5y}
\end{pmatrix}.$$
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas de segunda ordem para montar a Hessiana. Aplicando a regra da cadeia de novo, obtemos
A Hessiana
é a matriz das segundas derivadas parciais:
Passo 4
Por fim, avaliamos em
, lembrando que
:
$$\nabla f(0,0)=
, \quad
H_f(0,0)=
.$$