Considere as formas quadráticas q(v)=A v cdot v geradas pelas seguintes matrizis, e diga se são indefinidas, definidas ou semidefinidas (positivas ou negativas):
A=[ccc1 & -1 & 0 -1 & 3 & 2 0 & 2 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para classificar se a forma quadrática q( v)= v^T A, v é definida, semidefinida ou indefinida, sendo A a matriz simétrica dada. Vamos usar o critério de Sylvester, que relaciona os menores principais à definitude.

Passo 2

O critério de Sylvester diz que para uma matriz simétrica A de ordem n:
A é definida positiva se todos os menores principais leading ( D1,D2,dots,Dn) são positivos.
A é definida negativa se os sinais de Dk alternam começando em negativo.
– Caso contrário, se houver sinais mistos entre autovalores, a forma é indefinida.

Passo 3

Vamos calcular os menores principais leading de A:
A=1 & -1 & 0 -1 & 3 & 2 0 & 2 & 1
  1. D1=det([1])=1>0
  2. D2=det1 & -1 -1 & 3=1cdot3-(-1)(-1)=3-1=2>0
  3. 3&22&1

Passo 4

Como temos D1>0, D2>0 e D3<0, nem todos os menores são positivos (não é definida positiva) e também não seguem a alternância necessária para definida negativa. Logo, há autovalores positivos e negativos, e a forma quadrática é indefinida.

Resposta

Indefinida

Exercícios relacionados