Considere as formas quadráticas geradas pelas seguintes matrizis, e diga se são indefinidas, definidas ou semidefinidas (positivas ou negativas):
Passo 1
O enunciado pede para classificar se a forma quadrática q( v)= v^T A, v é definida, semidefinida ou indefinida, sendo A a matriz simétrica dada. Vamos usar o critério de Sylvester, que relaciona os menores principais à definitude.
Passo 2
O critério de Sylvester diz que para uma matriz simétrica A de ordem n:
– A é definida positiva se todos os menores principais leading (D1,D2,dots,Dn) são positivos.
– A é definida negativa se os sinais de Dk alternam começando em negativo.
– Caso contrário, se houver sinais mistos entre autovalores, a forma é indefinida.
Passo 3
Vamos calcular os menores principais leading de A:
A=1 & -1 & 0 -1 & 3 & 2 0 & 2 & 1
D1=det([1])=1>0
D2=det1 & -1 -1 & 3=1cdot3-(-1)(-1)=3-1=2>0
3&22&1
Passo 4
Como temos D1>0, D2>0 e D3<0, nem todos os menores são positivos (não é definida positiva) e também não seguem a alternância necessária para definida negativa. Logo, há autovalores positivos e negativos, e a forma quadrática é indefinida.