Calcule as seguintes derivadas:
q)
q)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
em relação a
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar logaritmos e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para deixar mais claro o que estamos lidando. A função
significa que estamos elevando o logaritmo natural de
ao cubo. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, para derivar essa função, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Passo 4
Identificamos que temos duas funções compostas aqui:
- A função externa
, onde . - A função interna
.
Passo 5
Vamos derivar a função externa
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos derivar a função interna
em relação a
. Primeiro, relembramos que
, então:
Agora, derivando:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Substituindo
de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: