Sejam duas matrizes
e
quadradas e de mesmas dimensões, então, dizemos que
é semelhante a
se existir uma matriz
, invertível, tal que
.
Prove que valem as propriedades:
a) Matrizes semelhantes têm traços iguais, ou seja,
;
b) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico (e mesmos autovalores).
Prove que valem as propriedades:
a) Matrizes semelhantes têm traços iguais, ou seja,
b) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico (e mesmos autovalores).
Passo 1
O exercício trata de matrizes semelhantes, ou seja, quando existe uma matriz invertível
tal que
. Vamos usar propriedades de traço e determinante para mostrar as duas afirmações.
Passo 2
Lembramos que o traço de um produto satisfaz a propriedade de ciclicidade: para quaisquer matrizes quadradas apropriadas
e
, vale
Aplicando essa propriedade a
o que prova que matrizes semelhantes têm traços iguais.
Passo 3
O polinômio característico de
é definido por
. Como
, analisamos
Passo 4
Usando a propriedade de determinante de produto e que
, reescrevemos
e assim
$$p_B(\lambda)=\det(P^{-1})\det(\lambda I - A)\det§=\det(\lambda I - A)=p_A(\lambda).
$$Como os polinômios característicos coincidem, eles têm as mesmas raízes, ou seja, matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores.
Resposta
Matrizes semelhantes têm traços iguais (
) e o mesmo polinômio característico (
), logo os mesmos autovalores.