Sejam duas matrizes A e B quadradas e de mesmas dimensões, então, dizemos que B é semelhante a A se existir uma matriz P, invertível, tal que B=P^-1 A P.
Prove que valem as propriedades:
a) Matrizes semelhantes têm traços iguais, ou seja, traço(A)=traço(B)̧̧;
b) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico (e mesmos autovalores).

Passo 1

O exercício trata de matrizes semelhantes, ou seja, quando existe uma matriz invertível P tal que B = P^-1AP. Vamos usar propriedades de traço e determinante para mostrar as duas afirmações.

Passo 2

Lembramos que o traço de um produto satisfaz a propriedade de ciclicidade: para quaisquer matrizes quadradas apropriadas X e Y, vale
tr(XY)=tr(YX)
Aplicando essa propriedade a B = P^-1AP, temos
tr(B)=tr(P^-1AP)=tr(APP^-1)=tr(A),
o que prova que matrizes semelhantes têm traços iguais.

Passo 3

O polinômio característico de A é definido por pA(lambda)=det(lambda I - A). Como B=P^-1AP, analisamos
pB(lambda)=det(lambda I - B)=det(lambda I - P^-1AP)

Passo 4

Usando a propriedade de determinante de produto e que lambda I = P^-1(lambda I)P, reescrevemos
lambda I - P^-1AP = P^-1(lambda I - A)P
e assim
$$p_B(\lambda)=\det(P^{-1})\det(\lambda I - A)\det§=\det(\lambda I - A)=p_A(\lambda).
$$Como os polinômios característicos coincidem, eles têm as mesmas raízes, ou seja, matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores.

Resposta

Matrizes semelhantes têm traços iguais ( tr(A)=tr(B)) e o mesmo polinômio característico ( pA(lambda)=pB(lambda)), logo os mesmos autovalores.

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