Vetores e matrizes de um’s são muito utilizados na teoria estatística. Por exemplo, o vetor de um’s é definido por
.
a) Seguindo esta ideia, a matriz de um’s, denotada por
, é uma matriz
na qual todos os elementos são iguais a um. Como representar a matriz
em função do vetor
?
b) Mostre que
;
c) Como é a forma da matriz
.
a) Seguindo esta ideia, a matriz de um’s, denotada por
b) Mostre que
c) Como é a forma da matriz
Passo 1
A questão envolve a matriz de uns
e o vetor de uns
em álgebra linear, mais precisamente:\n- parte (a): expressar
em função de
;\n- parte (b): verificar que
;\n- parte ©: escrever a forma da matriz
. Para isso, vamos usar definição de produto externo de vetores e propriedades de matrizes identidade.
Passo 2
Para (a), lembramos que, dado um vetor coluna
, o produto externo
gera uma matriz
em que cada elemento é o produto dos componentes correspondentes de
. Como cada componente de
vale 1, temos diretamente:
Passo 3
Para (b), usamos a expressão obtida em (a):
. Então
Passo 4
Para ©, observamos que
é a matriz de todos uns e que
tem 1 na diagonal e 0 fora dela. Subtraindo
, cada entrada diagonal e fora da diagonal muda de forma homogênea.
Resposta
a)
b)
c) A matriz é a matriz de centragem, cujos elementos são
b)
c) A matriz