Vetores e matrizes de um’s são muito utilizados na teoria estatística. Por exemplo, o vetor de um’s é definido por 1n=(1,1, ldots, 1)^t.
a) Seguindo esta ideia, a matriz de um’s, denotada por Jn, é uma matriz n times n na qual todos os elementos são iguais a um. Como representar a matriz Jn em função do vetor 1n ?
b) Mostre que Jn^2=n cdot Jn;
c) Como é a forma da matriz .

Passo 1

A questão envolve a matriz de uns Jn e o vetor de uns 1n em álgebra linear, mais precisamente:\n- parte (a): expressar Jn em função de 1n;\n- parte (b): verificar que Jn^2 = n,Jn;\n- parte ©: escrever a forma da matriz In - tfrac1n,1n1n^t. Para isso, vamos usar definição de produto externo de vetores e propriedades de matrizes identidade.

Passo 2

Para (a), lembramos que, dado um vetor coluna 1n, o produto externo 1n1n^t gera uma matriz ntimes n em que cada elemento é o produto dos componentes correspondentes de 1n. Como cada componente de 1n vale 1, temos diretamente:

Passo 3

Para (b), usamos a expressão obtida em (a): Jn = 1n1n^t. Então

Passo 4

Para ©, observamos que 1n1n^t é a matriz de todos uns e que In tem 1 na diagonal e 0 fora dela. Subtraindo tfrac1n,1n1n^t, cada entrada diagonal e fora da diagonal muda de forma homogênea.

Resposta

a) Jn = 1n1n^t
b) Jn^2 = (1n1n^t)(1n1n^t)=1n(1n^t1n)1n^t = n,1n1n^t = n,Jn
c) A matriz In - tfrac1n,1n1n^t é a matriz de centragem, cujos elementos são
(In - tfrac1n,1n1n^t)ij = 1 - tfrac1n, & i=j, -tfrac1n, & ineq j

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