Sejam
duas transformações lineares, onde
e
são
-espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam
e
bases de
e de
, respectivamente e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas transformações lineares
e escolhidas bases
de
e
de
, vale
O conteúdo é representação matricial de soma de transformações lineares. Vamos usar que a coluna
de uma matriz de transformação é o vetor de coordenadas da imagem do
-ésimo vetor de
.
Passo 2
Pela definição de matriz de
, a
-ésima coluna de
é
Como
é linear,
Passo 3
Agora, para coordenadas em
, vale a propriedade de aditividade de coordenadas:
Mas
é exatamente a
-ésima coluna de
e
é a
-ésima coluna de
.
Passo 4
Como isso vale para toda coluna
, concluímos que soma de colunas gera soma de matrizes, ou seja