Sejam duas transformações lineares, onde e são -espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam e bases de e de , respectivamente e . Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas transformações lineares
T,Scolon Vto W
e escolhidas bases B=v1,dots,vn de V e C=w1,dots,wm de W, vale
[T+S]B,C = [T]B,C + [S]B,C
O conteúdo é representação matricial de soma de transformações lineares. Vamos usar que a coluna j de uma matriz de transformação é o vetor de coordenadas da imagem do j-ésimo vetor de B.

Passo 2

Pela definição de matriz de T+S, a j-ésima coluna de [T+S]B,C é
[(T+S)(vj)]C
Como T+S é linear,
(T+S)(vj)=T(vj)+S(vj)

Passo 3

Agora, para coordenadas em C, vale a propriedade de aditividade de coordenadas:
[(T+S)(vj)]C = [T(vj)+S(vj)]C = [T(vj)]C + [S(vj)]C
Mas [T(vj)]C é exatamente a j-ésima coluna de [T]B,C e [S(vj)]C é a j-ésima coluna de [S]B,C.

Passo 4

Como isso vale para toda coluna j=1,dots,n, concluímos que soma de colunas gera soma de matrizes, ou seja
[T+S]B,C = [T]B,C + [S]B,C

Resposta

[T+S]B,C = [T]B,C + [S]B,C

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