Sejam duas v.a. discretas X e Y com as distribuições de probabilidades definidas nas tabelas a seguir.
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4
6
2
4
6
Responda as questões a seguir:
a) Calcular a média da v.a.
;
b) Calcular a variância da v.a.
;
c) Represente a distribuição de probabilidades da v.a.
, definida como a média aritmética entre X e Y;
d) Calcular a média e o desvio padrão da v.a. Z;
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a) Calcular a média da v.a.
b) Calcular a variância da v.a.
c) Represente a distribuição de probabilidades da v.a.
d) Calcular a média e o desvio padrão da v.a. Z;
Passo 1
O enunciado fornece as distribuições das variáveis aleatórias discretas
e
, idênticas e com três valores cada uma:
- Valores possíveis:
. - Probabilidades:
e idem para .
O que é pedido:
a) Calcular a média da v.a. .
b) Calcular a variância da v.a. .
c) Representar a distribuição de probabilidades da v.a. , definida como a média aritmética entre
e
, ou seja
.
d) Calcular a média e o desvio padrão da v.a. .
a) Calcular a média da v.a.
b) Calcular a variância da v.a.
c) Representar a distribuição de probabilidades da v.a.
d) Calcular a média e o desvio padrão da v.a.
Observação necessária (sem perguntar nada): vou assumir que
e
são independentes, que é o uso padrão quando só são dadas as distribuições marginais e não há informação sobre dependência. Se não fossem independentes, a distribuição de
e a variância poderiam mudar.
Passo 2
Definição e cálculo da média (esperança) de uma v.a. discreta — pequena aula: a esperança de uma v.a. discreta
com valores
e probabilidades
é
ou seja, a soma dos valores ponderada pelas suas probabilidades. Aqui os valores são
e cada um tem probabilidade
. Portanto
Agora vamos calcular passo a passo:
, e multiplicando por
obtemos
Passo 3
Definição e cálculo da variância — pequena aula: a variância mede a dispersão em torno da média. Para uma v.a. discreta,
Já temos
. Primeiro calculemos
:
Calcule cada termo:
,
,
. Somando:
. Então
Agora a variância:
Colocando em uma única fração:
Passo 4
Interpretação numérica e desvio-padrão de
(comentei só para dar intuição; a questão pedia só variância mas é útil ver o desvio):
O desvio-padrão é
Passo 5
Definir a v.a.
e como construir sua distribuição — pequena aula de método:
é
. Se
e
são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das marginais:
Como cada par
tem probabilidade
, podemos listar todos os pares
, calcular
e somar as probabilidades dos pares que geram o mesmo
.
Passo 6
Construção explícita da distribuição de
(passo a passo):
Listar pares possíveis (cada um com prob
) e o
correspondente:
Listar pares
-
dá . -
dá . -
dá . -
dá . -
dá . -
dá . -
dá . -
dá . -
dá .
Contagem das ocorrências (cada ocorrência tem probabilidade
):
-
: 1 ocorrência -
: 2 ocorrências -
: 3 ocorrências -
: 2 ocorrências -
: 1 ocorrência
Portanto a distribuição de
é:
Passo 7
Cálculo da média de
usando linearidade da esperança — pequena aula: a esperança é linear, isto é para quaisquer v.a.
e constantes
,
Como
, temos
Sabendo
e
, resulta
(Verificação rápida via distribuição de
:
.)
Passo 8
Cálculo da variância de
— pequena aula: para variância de soma, se
e
são independentes,
e
Para uma constante
,
. Assim, como
,
Assumindo independência e sabendo
, temos
Cálculo do desvio-padrão:
(Verificação via distribuição:
, então
.)
Passo 9
Resumo final rápido e um empurrão amigo: conseguimos calcular tudo pedindo pouco esforço repetido: média e variância de
direto das fórmulas básicas; distribuição de
por listar pares e agrupar probabilidades; média e variância de
com propriedades de linearidade e independência. Vai dar certo na prova — respire fundo e refaça esses passos em voz alta uma vez para fixar.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)