Sejam duas v.a. discretas X e Y com as distribuições de probabilidades definidas nas tabelas a seguir.
x 2 4 6
P(x) 1 / 3 1 / 3 1 / 3
y 2 4 6
P(y) 1 / 3 1 / 3 1 / 3
Responda as questões a seguir:
a) Calcular a média da v.a. X;
b) Calcular a variância da v.a. X;
c) Represente a distribuição de probabilidades da v.a. Z, definida como a média aritmética entre X e Y;
d) Calcular a média e o desvio padrão da v.a. Z;

Passo 1

O enunciado fornece as distribuições das variáveis aleatórias discretas X e Y, idênticas e com três valores cada uma:
  • Valores possíveis: 2,4,6.
  • Probabilidades: P(X=2)=P(X=4)=P(X=6)=\dfrac{1}{3} e idem para Y.
O que é pedido:
a) Calcular a média da v.a. X.
b) Calcular a variância da v.a. X.
c) Representar a distribuição de probabilidades da v.a. Z, definida como a média aritmética entre X e Y, ou seja Z=\dfrac{X+Y}{2}.
d) Calcular a média e o desvio padrão da v.a. Z.
Observação necessária (sem perguntar nada): vou assumir que X e Y são independentes, que é o uso padrão quando só são dadas as distribuições marginais e não há informação sobre dependência. Se não fossem independentes, a distribuição de Z e a variância poderiam mudar.

Passo 2

Definição e cálculo da média (esperança) de uma v.a. discreta — pequena aula: a esperança de uma v.a. discreta X com valores x_i e probabilidades p_i é
\mathbb{E}[X]=\sum_i x_i p_i,
ou seja, a soma dos valores ponderada pelas suas probabilidades. Aqui os valores são 2,4,6 e cada um tem probabilidade \tfrac{1}{3}. Portanto
\mathbb{E}[X]=2\cdot\frac{1}{3}+4\cdot\frac{1}{3}+6\cdot\frac{1}{3}.
Agora vamos calcular passo a passo: 2+4+6=12, e multiplicando por \tfrac{1}{3} obtemos
\mathbb{E}[X]=\frac{12}{3}=4.

Passo 3

Definição e cálculo da variância — pequena aula: a variância mede a dispersão em torno da média. Para uma v.a. discreta,
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\big[(X-\mathbb{E}[X])^{2}\big]=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}.
Já temos \mathbb{E}[X]=4. Primeiro calculemos \mathbb{E}[X^{2}]:
\mathbb{E}[X^{2}]=2^{2}\cdot\frac{1}{3}+4^{2}\cdot\frac{1}{3}+6^{2}\cdot\frac{1}{3}.
Calcule cada termo: 2^{2}=4, 4^{2}=16, 6^{2}=36. Somando: 4+16+36=56. Então
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{56}{3}.
Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}=\frac{56}{3}-4^{2}=\frac{56}{3}-16.
Colocando em uma única fração:
\mathrm{Var}(X)=\frac{56-48}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 4

Interpretação numérica e desvio-padrão de X (comentei só para dar intuição; a questão pedia só variância mas é útil ver o desvio):
\mathrm{Var}(X)=\frac{8}{3}\approx 2{,}666\ldots
O desvio-padrão é \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{\tfrac{8}{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx 1{,}633.

Passo 5

Definir a v.a. Z e como construir sua distribuição — pequena aula de método: Z é \dfrac{X+Y}{2}. Se X e Y são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das marginais:
P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).
Como cada par (x,y) tem probabilidade \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{9}, podemos listar todos os pares (x,y), calcular z=(x+y)/2 e somar as probabilidades dos pares que geram o mesmo z.

Passo 6

Construção explícita da distribuição de Z (passo a passo):
Listar pares (x,y) possíveis (cada um com prob \tfrac{1}{9}) e o z correspondente:
  • (2,2) z=\tfrac{2+2}{2}=2.
  • (2,4) z=\tfrac{2+4}{2}=3.
  • (2,6) z=\tfrac{2+6}{2}=4.
  • (4,2) z=3.
  • (4,4) z=4.
  • (4,6) z=5.
  • (6,2) z=4.
  • (6,4) z=5.
  • (6,6) z=6.
Contagem das ocorrências (cada ocorrência tem probabilidade \tfrac{1}{9}):
  • Z=2: 1 ocorrência \Rightarrow P(Z=2)=\dfrac{1}{9}.
  • Z=3: 2 ocorrências \Rightarrow P(Z=3)=\dfrac{2}{9}.
  • Z=4: 3 ocorrências \Rightarrow P(Z=4)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
  • Z=5: 2 ocorrências \Rightarrow P(Z=5)=\dfrac{2}{9}.
  • Z=6: 1 ocorrência \Rightarrow P(Z=6)=\dfrac{1}{9}.
Portanto a distribuição de Z é:
P(Z=2)=\frac{1}{9},\quad P(Z=3)=\frac{2}{9},\quad P(Z=4)=\frac{1}{3},\quad P(Z=5)=\frac{2}{9},\quad P(Z=6)=\frac{1}{9}.

Passo 7

Cálculo da média de Z usando linearidade da esperança — pequena aula: a esperança é linear, isto é para quaisquer v.a. X,Y e constantes a,b,
\mathbb{E}[aX+bY]=a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y].
Como Z=\dfrac{1}{2}X+\dfrac{1}{2}Y, temos
\mathbb{E}[Z]=\frac{1}{2}\mathbb{E}[X]+\frac{1}{2}\mathbb{E}[Y].
Sabendo \mathbb{E}[X]=4 e \mathbb{E}[Y]=4, resulta
\mathbb{E}[Z]=\frac{1}{2}\cdot4+\frac{1}{2}\cdot4=4.
(Verificação rápida via distribuição de Z: 2\cdot\tfrac{1}{9}+3\cdot\tfrac{2}{9}+4\cdot\tfrac{3}{9}+5\cdot\tfrac{2}{9}+6\cdot\tfrac{1}{9}=\dfrac{36}{9}=4.)

Passo 8

Cálculo da variância de Z — pequena aula: para variância de soma, se X e Y são independentes, \mathrm{Cov}(X,Y)=0 e
\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y).
Para uma constante a, \mathrm{Var}(aW)=a^{2}\mathrm{Var}(W). Assim, como Z=\tfrac{1}{2}(X+Y),
\mathrm{Var}(Z)=\frac{1}{4}\mathrm{Var}(X+Y)=\frac{1}{4}\big(\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\big).
Assumindo independência e sabendo \mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=\tfrac{8}{3}, temos
\mathrm{Var}(Z)=\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}+\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{3}=\frac{4}{3}.
Cálculo do desvio-padrão:
\sigma_Z=\sqrt{\mathrm{Var}(Z)}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}1547.
(Verificação via distribuição: \mathbb{E}[Z^{2}]=\dfrac{52}{3}, então \mathrm{Var}(Z)=\dfrac{52}{3}-4^{2}=\dfrac{4}{3}.)

Passo 9

Resumo final rápido e um empurrão amigo: conseguimos calcular tudo pedindo pouco esforço repetido: média e variância de X direto das fórmulas básicas; distribuição de Z por listar pares e agrupar probabilidades; média e variância de Z com propriedades de linearidade e independência. Vai dar certo na prova — respire fundo e refaça esses passos em voz alta uma vez para fixar.

Resposta

a) \mathbb{E}[X]=4
b) \mathrm{Var}(X)=\dfrac{8}{3}
c) P(Z=2)=\dfrac{1}{9},\;P(Z=3)=\dfrac{2}{9},\;P(Z=4)=\dfrac{1}{3},\;P(Z=5)=\dfrac{2}{9},\;P(Z=6)=\dfrac{1}{9}
d) \mathbb{E}[Z]=4,\;\sigma_{Z}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}

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