Vinte e cinco por cento de todos os pequenos negócios nos Estados Unidos têm um site. Se selecionarmos dez deles ao acaso, qual será a probabilidade de exatamente quatro terem uma página na internet?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados do enunciado:
    • A proporção de pequenos negócios que têm um site é 0,25 (ou seja, 25\%).
    • O número de empresas selecionadas ao acaso é 10.
  • O que o enunciado pede:
    • A probabilidade de que exatamente 4 das 10 empresas selecionadas tenham uma página na internet.

Passo 2

Entendendo como pensar sobre o problema (conceito e razões, sem pular passos).
  • Temos 10 tentativas independentes (cada empresa pode ou não ter site) e em cada tentativa a chance de “sucesso” (ter site) é sempre a mesma, 0,25. Quando temos várias tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso, o número total de sucessos segue uma lei de contagem discreta específica.
  • Vou usar a fórmula apropriada para calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas (a seguir eu mostro a fórmula e explico cada parte). Isso permite calcular a probabilidade pedida de forma direta e exata.

Passo 3

Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo (a “aula” curta).
  • Denotemos:
    • n = número total de tentativas. Aqui n=10.
    • k = número de sucessos desejados. Aqui k=4.
    • p = probabilidade de sucesso em cada tentativa. Aqui p=0,25.
    • q = probabilidade de fracasso em cada tentativa, isto é q=1-p.
  • A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é
P(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k}.
  • Explicando os termos:
    • \binom{n}{k} é o número de maneiras diferentes (combinações) de escolher quais k das n tentativas serão os sucessos. A fórmula para \binom{n}{k} é
    \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(1).
    • p^{k} é a probabilidade de que exatamente essas k escolhidas sejam sucessos.
    • q^{\,n-k} é a probabilidade de que as restantes n-k sejam fracassos.
  • Exemplo pequeno para fixar: se n=3, k=2 e p=0,5, então \binom{3}{2}=3 e P=3\cdot(0,5)^2\cdot(0,5)^1=3\cdot0,25\cdot0,5=0,375.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso e calculando \binom{10}{4} passo a passo.
  • Substituindo n=10, k=4 na combinação:
\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\,6!}.
  • Simplificando sem calcular 10! inteiro: escrever apenas os fatores que sobram
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Agora calcular numerador e denominador de forma fácil:
    • Numerador: 10\cdot9\cdot8\cdot7=(10\cdot9)\cdot(8\cdot7)=90\cdot56=5040.
    • Denominador: 4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • Dividindo:
\binom{10}{4}=\frac{5040}{24}=210.

Passo 5

Calcular p^{4} e q^{6} explicitando como trabalhar com frações para facilitar contas sem calculadora.
  • A probabilidade de sucesso por tentativa é p=0,25. Como 0,25=\frac{1}{4}, temos
p^{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^{4}=\frac{1}{4^{4}}=\frac{1}{256}.
  • A probabilidade de fracasso é q=1-p=1-0,25=0,75. Como 0,75=\frac{3}{4}, temos
q^{6}=\left(\frac{3}{4}\right)^{6}=\frac{3^{6}}{4^{6}}=\frac{729}{4096},
pois 3^{6}=729 e 4^{6}=4096.

Passo 6

Combinar tudo e simplificar a fração resultante.
  • Usando a fórmula:
P(\text{exatamente }4)=\binom{10}{4}\,p^{4}\,q^{6}=210\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{729}{4096}.
  • Agrupando numerador e denominador:
P=\frac{210\cdot729}{256\cdot4096}.
  • Note que 256\cdot4096=2^{8}\cdot2^{12}=2^{20}=1\,048\,576. Então
P=\frac{210\cdot729}{1\,048\,576}=\frac{153090}{1\,048\,576}.
  • Podemos dividir numerador e denominador por 2 para simplificar:
P=\frac{76545}{524288}.

Passo 7

Converter para valor decimal (aproximação) e interpretar o resultado.
  • Dividindo a fração obtemos aproximadamente
P\approx0,145998\\ (\text{aproximadamente }0,146).
  • Interpretação em linguagem simples: ao escolher 10 pequenas empresas ao acaso, a chance de exatamente 4 terem site é cerca de 14{,}6\%. Não é muito alta, mas também não é desprezível — lembra que a média esperada de empresas com site seria n\cdot p=10\cdot0,25=2{,}5, então obter 4 é acima da média, por isso a probabilidade é moderada.

Resposta

\displaystyle \frac{76545}{524288}\approx0,145998

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