Vinte e cinco por cento de todos os pequenos negócios nos Estados Unidos têm um site. Se selecionarmos dez deles ao acaso, qual será a probabilidade de exatamente quatro terem uma página na internet?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados do enunciado:
- A proporção de pequenos negócios que têm um site é
(ou seja, ). - O número de empresas selecionadas ao acaso é
.
- A proporção de pequenos negócios que têm um site é
-
O que o enunciado pede:
- A probabilidade de que exatamente
das empresas selecionadas tenham uma página na internet.
- A probabilidade de que exatamente
Passo 2
Entendendo como pensar sobre o problema (conceito e razões, sem pular passos).
- Temos
tentativas independentes (cada empresa pode ou não ter site) e em cada tentativa a chance de “sucesso” (ter site) é sempre a mesma, . Quando temos várias tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso, o número total de sucessos segue uma lei de contagem discreta específica. - Vou usar a fórmula apropriada para calcular a probabilidade de obter exatamente
sucessos em tentativas (a seguir eu mostro a fórmula e explico cada parte). Isso permite calcular a probabilidade pedida de forma direta e exata.
Passo 3
Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo (a “aula” curta).
- Denotemos:
-
= número total de tentativas. Aqui . -
= número de sucessos desejados. Aqui . -
= probabilidade de sucesso em cada tentativa. Aqui . -
= probabilidade de fracasso em cada tentativa, isto é .
-
- A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos em tentativas é
- Explicando os termos:
-
é o número de maneiras diferentes (combinações) de escolher quais das tentativas serão os sucessos. A fórmula para é
onde (lê-se “n fatorial”) é o produto . -
é a probabilidade de que exatamente essas escolhidas sejam sucessos. -
é a probabilidade de que as restantes sejam fracassos.
-
- Exemplo pequeno para fixar: se
, e , então e .
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso e calculando
passo a passo.
- Substituindo
, na combinação:
- Simplificando sem calcular
inteiro: escrever apenas os fatores que sobram
- Agora calcular numerador e denominador de forma fácil:
- Numerador:
. - Denominador:
.
- Numerador:
- Dividindo:
Passo 5
Calcular
e
explicitando como trabalhar com frações para facilitar contas sem calculadora.
- A probabilidade de sucesso por tentativa é
. Como , temos
- A probabilidade de fracasso é
. Como , temos
pois
e
.
Passo 6
Combinar tudo e simplificar a fração resultante.
- Usando a fórmula:
- Agrupando numerador e denominador:
- Note que
. Então
- Podemos dividir numerador e denominador por
para simplificar:
Passo 7
Converter para valor decimal (aproximação) e interpretar o resultado.
- Dividindo a fração obtemos aproximadamente
- Interpretação em linguagem simples: ao escolher
pequenas empresas ao acaso, a chance de exatamente terem site é cerca de . Não é muito alta, mas também não é desprezível — lembra que a média esperada de empresas com site seria , então obter é acima da média, por isso a probabilidade é moderada.