Se 5 \% da produção de uma máquina é imprestável, qual a probabilidade de se escolher dez itens e de encontrar oito bons?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informação dada:
    • 5\% da produção é imprestável. Ou seja, a probabilidade de um item ser imprestável (defeituoso) é 0,05.
    • Logo, a probabilidade de um item ser bom é 0,95.
    • Serão escolhidos 10 itens (amostra de tamanho n=10).
  • O que se pede:
    • A probabilidade de, entre esses 10 itens, encontrarmos exatamente 8 bons.

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática da fórmula que aparece frequentemente em prova).
Quando temos uma sequência de n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de “sucesso” (aqui “bom” é sucesso), e queremos a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos, usamos a distribuição binomial. A fórmula é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada peça dessa fórmula:
  • X é a variável aleatória que conta o número de sucessos (número de itens bons).
  • n é o número total de tentativas (aqui n=10).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=8).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=0,95).
  • (1-p) é a probabilidade de fracasso em cada tentativa (aqui 1-p=0,05).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes os k sucessos podem ocorrer entre as n tentativas. Ele é dado por \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},onde n! (fatorial) significa n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1. Por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=10, k=8, p=0,95. Substituindo na expressão binomial:
P(X=8)=\binom{10}{8}\,(0,95)^{8}\,(0,05)^{2}.
Agora vamos calcular cada parte explicitamente.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{10}{8}:
\binom{10}{8}=\frac{10!}{8!\,2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2\cdot1}=\frac{10\cdot9}{2}=45.
Calcular as potências (faço passo a passo para dar confiança):
(0,95)^{2}=0,9025.
(0,95)^{4}=(0,95)^{2}\cdot(0,95)^{2}=0,9025\cdot0,9025=0,81450625.
(0,95)^{8}=(0,95)^{4}\cdot(0,95)^{4}=0,81450625\cdot0,81450625=0,6634204312890625.
(0,05)^{2}=0,0025.
Agora multiplicando tudo:
(0,95)^{8}\,(0,05)^{2}=0,6634204312890625\cdot0,0025=0,00165855107822265625.
45\cdot 0,00165855107822265625 = 0,07463479852001953125.

Passo 5

Interpretação rápida: o número obtido é a probabilidade de exatamente 8 itens bons entre 10 quando cada item tem probabilidade 0,95 de ser bom. Em porcentagem, isso corresponde a cerca de 7{,}463\%. Força aí — essa é a resposta que normalmente pedem na prova.

Resposta

\binom{10}{8}(0,95)^{8}(0,05)^{2}\approx0,0746348

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