Se
da produção de uma máquina é imprestável, qual a probabilidade de se escolher dez itens e de encontrar oito bons?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Informação dada:
-
da produção é imprestável. Ou seja, a probabilidade de um item ser imprestável (defeituoso) é . - Logo, a probabilidade de um item ser bom é
. - Serão escolhidos
itens (amostra de tamanho ).
-
- O que se pede:
- A probabilidade de, entre esses
itens, encontrarmos exatamente bons.
- A probabilidade de, entre esses
Passo 2
Modelo que vamos usar (explicação didática da fórmula que aparece frequentemente em prova).
Quando temos uma sequência de
tentativas independentes, cada uma com probabilidade
de “sucesso” (aqui “bom” é sucesso), e queremos a probabilidade de ocorrerem exatamente
sucessos, usamos a distribuição binomial. A fórmula é:
Explicando cada peça dessa fórmula:
-
é a variável aleatória que conta o número de sucessos (número de itens bons). -
é o número total de tentativas (aqui ). -
é o número de sucessos que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ). -
é a probabilidade de fracasso em cada tentativa (aqui ). -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes os sucessos podem ocorrer entre as tentativas. Ele é dado por onde (fatorial) significa . Por exemplo, .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
,
,
. Substituindo na expressão binomial:
Agora vamos calcular cada parte explicitamente.
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
:
Calcular as potências (faço passo a passo para dar confiança):
Agora multiplicando tudo:
Passo 5
Interpretação rápida: o número obtido é a probabilidade de exatamente
itens bons entre
quando cada item tem probabilidade
de ser bom. Em porcentagem, isso corresponde a cerca de
. Força aí — essa é a resposta que normalmente pedem na prova.