No mais novo programa de tv da emissora REDE ESTAT TV, “Tesouro na liha”, o apresentador diz: Bem-vindos ao mais emocionante programa de TV de todos os tempos, “Tesoure na ilha” 1 Nosso corajoso participante foi transportado para uma ilha misteriosa onde a sorte a criatividade e a inteligência sâo as chaves para a riqueza. O desafio final aguarda: 10 arcas ancestrais, numeradas de 1 a 10 e dispostas em um círculo mistico. Apenas uma delas guarda o Grande Tesouro da llha, um prêmio que valem R \ 2 \times 10^{6}$ em barras de ouro, enquanto as outras 9 estão, infelizmente, vazias. Nosso participante, sem qualquer pista sobre onde o tesouro está escondido, deve escolher uma das 10 arcas. Após a sua escolha inicial, o enigmático Anfitrião da llha, que sempre sabe a localização exata do Grande Tesouro, entra em cena. Com um sorriso misterioso, o Anfitrião abre 8 das 9 arcas não escolhidas pelo participante. É crucial notar que o Anfitrião, em sua imparcialidade e para manter o suspense, nunca revela a arca com o tesouro e nunca abre a arca inicialmente selecionada pelo participante. As 8 arcas abertas pelo Anfitrião estão, como esperado, completamente vazias. Agora, restam apenas duas arcas fechadas no circulo: a arca que o participante escolheu no início e uma única arca que não foi escolhida e nem aberta pelo Anfitrião. O participante tem uma decisão crucial a tomar: 1. Manter sua escolha original. 2. Trocar sua escolha para a outra arca fechada restante. Considerando esta situação, qual é a probabilidade de o participante ganhar o Grande Tesouro em cada uma das seguintes estratégias? Se ele mantiver sua escolha inicial. Se ele trocar sua escolha por outra arca fechada. Justifique sua resposta com uma análise probabilística detalhada, explicando o raciocínio por trás da estratégia que maximiza as chances de vitória. Demonstre por que a intuição pode ser enganosa neste cenário.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • \,10\, arcas numeradas de \,1 a \,10\,.
  • Exatamente uma arca contém o Grande Tesouro; as outras \,9\, estão vazias.
  • O participante escolhe inicialmente uma arca (uma única escolha).
  • O Anfitrião sabe onde está o tesouro, não abre a arca escolhida pelo participante e nunca abre a arca que contém o tesouro.
  • O Anfitrião abre \,8\, das \,9\, arcas restantes, e todas as \,8\, abertas pelo Anfitrião estão vazias.
  • Permanecem fechadas exatamente \,2\, arcas: a arca escolhida pelo participante e mais uma arca não escolhida.
    As perguntas:
  1. Qual a probabilidade de ganhar o tesouro se o participante mantiver sua escolha inicial?
  2. Qual a probabilidade de ganhar o tesouro se o participante trocar para a outra arca fechada?
    O enunciado garante o comportamento do Anfitrião (ele sempre sabe e sempre evita abrir a arca com o tesouro), então podemos usar essa informação na análise.

Passo 2

Quantificar a probabilidade da escolha inicial ser a vencedora.
  • Ao fazer a escolha inicial aleatória entre \,10\, arcas, a probabilidade de ter escolhido exatamente a arca com o tesouro é
P(\text{tesouro na escolha inicial})=\frac{1}{10}.
  • Consequentemente, a probabilidade do tesouro estar em alguma das outras \,9\, arcas (não escolhidas) é a complementar:
P(\text{tesouro nas outras 9}) = 1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}.
Explicação didática: ao escolher sem informação, cada arca tem igual chance 1/10. Se a sua escolhida for a correta, isso ocorre em 1 posição entre 10; se não for, então o tesouro está em uma das outras 9 posições.

Passo 3

Entender o papel do Anfitrião e o que a ação dele revela.
  • O Anfitrião abre \,8\, arcas entre as \,9\, não escolhidas e ele nunca abre a arca com o tesouro.
  • Isso significa: se o tesouro estiver entre as outras \,9\, arcas, o Anfitrião tem liberdade para abrir as \,8\, vazias e, para manter a regra, ele obrigatoriamente deixará exatamente a arca com o tesouro fechada entre essas \,9\,.
  • Se, por outro lado, o tesouro estiver na arca que você escolheu inicialmente, então as \,9\, outras são todas vazias e o Anfitrião pode abrir qualquer \,8\, delas; o único não-aberto entre essas \,9\, será uma arca vazia.
    Resumo didático: a ação do Anfitrião não cria novas probabilidades uniformes entre as duas arcas fechadas; ela redistribui a informação já existente — se sua escolha inicial era errada, o Anfitrião forçadamente deixa a arca correta como a única outra fechada.

Passo 4

Análise condicional para a estratégia “manter”.
  • Se a sua escolha inicial contém o tesouro (evento que tem probabilidade \frac{1}{10}), então manter a escolha garante a vitória.
  • Se a sua escolha inicial não contém o tesouro (probabilidade \frac{9}{10}), então manter perde.
    Portanto a probabilidade de vitória mantendo é simplesmente
P(\text{ganhar mantendo}) = P(\text{tesouro na escolha inicial}) = \frac{1}{10}.
Interpretação prática: manter dá a mesma chance que você tinha ao escolher inicialmente, porque nada na ação do Anfitrião aumenta a probabilidade de sua arca inicial ser a vencedora.

Passo 5

Análise condicional para a estratégia “trocar”.
  • Se a sua escolha inicial contém o tesouro (probabilidade \frac{1}{10}), então ao trocar você perde (pois a outra arca fechada será vazia).
  • Se a sua escolha inicial não contém o tesouro (probabilidade \frac{9}{10}), então entre as \,9\, arcas restantes havia a arca com o tesouro; o Anfitrião abriu \,8\, vazias deixando exatamente a arca com o tesouro como a outra arca fechada. Assim, ao trocar, você ganha com certeza nesse caso.
    Portanto a probabilidade de vitória ao trocar é
P(\text{ganhar trocando}) = P(\text{tesouro nas outras 9}) = \frac{9}{10}.
Explicação intuitiva: trocar ganha sempre quando sua escolha inicial estava errada — e isso acontece em \,9 de \,10 situações.

Passo 6

Demonstração enumerativa (contagem de casos) para fixar a intuição
  • Imagine enumerar as \,10\, posições do tesouro: se o tesouro estiver na posição da sua escolha (1 caso), manter ganha e trocar perde.
  • Se o tesouro estiver em qualquer uma das outras \,9\, posições (9 casos), o Anfitrião abrirá as \,8\, vazias entre as não escolhidas, deixando a arca que contém o tesouro como a outra fechada; trocar ganhará nesses 9 casos.
    Logo, contando casos igualmente prováveis, ganhar mantendo ocorre em 1 caso de 10, e ganhar trocando ocorre em 9 casos de 10. Resultado consistente com as fórmulas anteriores.

Passo 7

Comparação com o caso clássico de \,3\, portas (ajuda para a intuição)
  • No problema conhecido com \,3\, portas o resultado é: manter \to 1/3, trocar \to 2/3.
  • Aqui, generalizando para n portas com o anfitrião abrindo n-2 vazias, o resultado geral é: manter \to 1/n, trocar \to (n-1)/n.
  • Aplicando n=10 obtemos exatamente manter \to \frac{1}{10} e trocar \to \frac{9}{10}.
    Isso mostra a mesma estrutura lógica: quanto mais portas/arca inicialmente não escolhidas, maior a vantagem em trocar depois que o anfitrião abre muitas vazias.

Passo 8

Por que a intuição costuma enganar
  • Intuitivamente, depois que restam duas arcas fechadas, muita gente pensa que as duas têm probabilidade 1/2 cada — isso é falso aqui porque a ação do Anfitrião não foi aleatória; ela depende do conhecimento do local do tesouro e da sua escolha inicial.
  • O anfitrião fornece informação ao abrir deliberadamente arcas vazias. Essa informação transforma a probabilidade da arca não escolhida que sobrou: ela “concentra” a probabilidade de todas as \,9\, arcas não escolhidas originais.
  • Em outras palavras, a probabilidade \frac{9}{10} de o tesouro estar em “alguma outra” não desaparece quando o anfitrião abre \,8\, vazias — ela se transmite para a única outra arca fechada.
    Conclusão conceitual: tratar as duas arcas finais como simétricas ignora o mecanismo de seleção do host.

Resposta

Manter a escolha inicial: \frac{1}{10}
Trocar para a outra arca fechada: \frac{9}{10}

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