Sejam E=e1, e2, e3, F=f1, f2, f3 e G=g1, g2, g3 bases tais que
ll 2 e1=raiz3 f1-f3 & g1=e1+e2+e3 2 e2=f1+raiz3 f3 & g2=e1+e2 e3=f2 & g3=e1
Escreva todas as matrizes de mudança de base envolvendo E, F e G.

Passo 1

O enunciado dá três bases de
e as relações
Queremos todas as matrizes de mudança de base entre tem colunas iguais às coordenadas dos vetores de expressos na base .

Passo 2

Coordenadas de vec ei na base F:
vec e1=raiz32,vec f1-12,vec f3, vec e2=12,vec f1+raiz32,vec f3, vec e3=vec f2
Logo
PF E=l[,[vec e1]F;,[vec e2]F;,[vec e3]Fr] = raiz32 & 12 & 0 0 & 0 & 1 -12 & raiz32 & 0

Passo 3

Invertendo PF E (ou resolvendo vec fj em função de vec ei), achamos
PE F=(PF E)^-1 = raiz32 & 0 & -12 12 & 0 & raiz32 0 & 1 & 0

Passo 4

Coordenadas de vec gi na base E:
vec g1=(1,1,1)E, vec g2=(1,1,0)E, vec g3=(1,0,0)E
Então
PE G = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Passo 5

Invertendo PE G (ou resolvendo vec gj em função de vec ei), obtém-se
PG E =(PE G)^-1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0

Passo 6

Para passar de G a F:
PF G = PF E;PE G = raiz32 & 12 & 0 0 & 0 & 1 -12 & raiz32 & 0 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 = raiz3+12 & raiz3+12 & raiz32 1 & 0 & 0 raiz3-12 & raiz3-12 & -12

Passo 7

E de F a G (por composição ou inversão anterior):
PG F = PG E;PE F = 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0 raiz32 & 0 & -12 12 & 0 & raiz32 0 & 1 & 0 = 0 & 1 & 0 12 & -1 & raiz32 raiz3-12 & 0 & -raiz3+12

Resposta

As seis matrizes de mudança de base são:
PF E = raiz32 & 12 & 0 0 & 0 & 1 -12 & raiz32 & 0 , PE F = raiz32 & 0 & -12 12 & 0 & raiz32 0 & 1 & 0 ,
PE G = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , PG E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0 ,
PF G = raiz3+12 & raiz3+12 & raiz32 1 & 0 & 0 raiz3-12 & raiz3-12 & -12 , PG F = 0 & 1 & 0 12 & -1 & raiz32 raiz3-12 & 0 & -raiz3+12

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