Sejam u=(1,-1,3), v=(2,1,3), w=(-1,-1,4). Encontre as coordenadas de
3 u+2 v-3 w. Verifique se u é combinação linear de v e w. Escreva t=(4,0,13) como combinação linear de u, v e w.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(1,-1,3), v=(2,1,3) e w=(-1,-1,4)
e pede três coisas:
  1. Calcular 3u+2v-3w.
  2. Verificar se u é combinação linear de v e w.
  3. Escrever t=(4,0,13) como combinação linear de u,v,w.
Os conceitos usados aqui são operações com vetores no R^3, definição de combinação linear e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Para calcular
3u+2v-3w
aplicamos a multiplicação escalar e somamos coordenada a coordenada:
3u=(3, -3, 9), 2v=(4,2,6), -3w=(3,3,-12)
Somando tudo,
3u+2v-3w=(3+4+3,;-3+2+3,;9+6-12)=(10,2,3)

Passo 3

Para ver se u está no span de v,w buscamos escalares alpha,beta tais que
alphav+betaw=u
Isso gera o sistema
2alpha-beta = 1, alpha-beta = -1, 3alpha+4beta = 3

Passo 4

Das duas primeiras equações isolamos beta e alpha:
2alpha-beta=1implies beta=2alpha-1,
alpha-beta=-1implies alpha-(2alpha-1)=-1implies -alpha+1=-1implies alpha=2,
beta=2cdot2-1=3
Substituindo na terceira:
3alpha+4beta = 3cdot2 +4cdot3 =6+12=18 neq 3,
logo não há solução consistente.

Passo 5

Como não existe (alpha,beta) que satisfaça todas as três equações, concluímos que
u não é combinação linear de v e w.

Passo 6

Para escrever t=(4,0,13) como combinação de u,v,w procuramos a,b,c tais que
au+bv+cw=t,
isto é,
(a+2b-c,;-a+b-c,;3a+3b+4c) = (4,0,13)
Isso leva ao sistema
a+2b-c=4, -a+b-c=0, 3a+3b+4c=13

Passo 7

Somando a primeira com a segunda equação:
(a+2b-c)+(-a+b-c)=4+0implies 3b-2c=4
Chamemos isso de (4). Da primeira isolamos a=4-2b+c e substituímos na terceira:
3(4-2b+c)+3b+4c=13implies 12-6b+3c+3b+4c=13implies -3b+7c=1
Chamemos isso de (5).
Resolvendo (4) e (5):
3b-2c=4, -3b+7c=1
somando dá 5c=5implies c=1.
Então 3b-2cdot1=4implies 3b=6implies b=2.
E a=4-2cdot2+1=1.

Passo 8

Obtivemos
a=1, b=2, c=1,
portanto
t = 1u + 2v + 1w

Resposta

O resultado dos três itens é:
3u+2v-3w=(10,2,3).
u não é combinação linear de v e w.
t=(4,0,13) pode ser escrito como
t = u + 2v + w

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