Sejam
. Encontre as coordenadas de
. Verifique se
é combinação linear de
e
. Escreva
como combinação linear de
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores
,
e
e pede três coisas:
e pede três coisas:
- Calcular
. - Verificar se
é combinação linear de e . - Escrever
como combinação linear de .
Os conceitos usados aqui são operações com vetores no
, definição de combinação linear e solução de sistemas lineares.
Passo 2
Para calcular
aplicamos a multiplicação escalar e somamos coordenada a coordenada:
Somando tudo,
Passo 3
Para ver se
está no span de
buscamos escalares
tais que
Isso gera o sistema
Passo 4
Das duas primeiras equações isolamos
beta e
alpha :
Substituindo na terceira:
logo não há solução consistente.
Passo 5
Como não existe
(alpha,beta) que satisfaça todas as três equações, concluímos que
u não é combinação linear de
v e
w .
Passo 6
Para escrever
t=(4,0,13) como combinação de
u,v,w procuramos
a,b,c tais que
isto é,
Isso leva ao sistema
Passo 7
Somando a primeira com a segunda equação:
Chamemos isso de (4). Da primeira isolamos
a=4-2b+c e substituímos na terceira:
Chamemos isso de (5).
Resolvendo (4) e (5):
Resolvendo (4) e (5):
somando dá
5c=5implies c=1 .
Então3b-2cdot1=4implies 3b=6implies b=2 .
Ea=4-2cdot2+1=1 .
Então
E
Passo 8
Obtivemos
portanto
Resposta
O resultado dos três itens é: