1. Considere os seguintes subespaços de R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3 / z=0 e W2=(x, y, z) in R^3 / y=0
Determine:
a) W1 cap W2
b) W1+W2. Após, responda: W1+W2 é soma direta? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para achar a interseção e a soma de dois subespaços de R^3:
W1=(x,y,z)inR^3mid z=0 e W2=(x,y,z)inR^3mid y=0. O conteúdo aqui é teoria de subespaços, interseção, soma de subespaços e a noção de soma direta.

Passo 2

Para achar W1cap W2, vamos impor simultaneamente as condições de ambos os subespaços. Em W1 temos z=0 e em W2 temos y=0. Logo todos os vetores em W1cap W2 satisfazem
y=0, z=0,
restando apenas x livre. Assim
W1cap W2=(x,0,0)mid xinR,
o que é o eixo x.

Passo 3

Para determinar W1+W2, escrevemos um vetor genérico de W1+W2 como soma de
w1=(x1,y1,0)in W1 com w2=(x2,0,z2)in W2. Então
w1+w2=(x1+x2,;y1,;z2)
Como x1,x2,y1,z2 são livres, as três coordenadas são livres, mostrando que
W1+W2=R^3

Passo 4

Para ver se a soma é direta, lembramos que W1+W2 é soma direta se e só se
W1cap W2=0. Aqui achamos que W1cap W2=(x,0,0), que não é só o vetor zero. Logo não é soma direta.

Resposta

a) W1cap W2=(x,0,0)mid xinR
b) W1+W2=R^3, e a soma não é direta porque W1cap W2ne0.

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