- Considere os seguintes subespaços de
:
Determine:
a)
b)
. Após, responda:
é soma direta? Justifique!
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para achar a interseção e a soma de dois subespaços de
:
e
. O conteúdo aqui é teoria de subespaços, interseção, soma de subespaços e a noção de soma direta.
Passo 2
Para achar
, vamos impor simultaneamente as condições de ambos os subespaços. Em
temos
e em
temos
. Logo todos os vetores em
satisfazem
restando apenas
livre. Assim
o que é o eixo
.
Passo 3
Para determinar
, escrevemos um vetor genérico de
como soma de
com
. Então
Como
são livres, as três coordenadas são livres, mostrando que
Passo 4
Para ver se a soma é direta, lembramos que
é soma direta se e só se
. Aqui achamos que
, que não é só o vetor zero. Logo não é soma direta.
Resposta
a)
b) , e a soma não é direta porque
.
b)