Prove que u-2 v+w, 2 u+v+3 w, u+8 v+3 w são ld quaisquer que sejam os vetores u, v, w.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em função de vec u,vec v,vec w:
A = vec u - 2vec v + vec w, B = 2vec u + vec v + 3vec w, C = vec u + 8vec v + 3vec w
e pede para mostrar que A,B,C são sempre linearmente dependentes. Vamos usar a definição: são dependentes se existe uma combinação
alpha A + beta B + gamma C = vec 0
com alpha,beta,gamma nem todos nulos.

Passo 2

Escrevemos
alpha A + beta B + gamma C = alpha(vec u - 2vec v + vec w) + beta(2vec u + vec v + 3vec w) + gamma(vec u + 8vec v + 3vec w)
Agrupando em vec u,vec v,vec w, obtemos
(alpha + 2beta + gamma),vec u +(-2alpha + beta + 8gamma),vec v +(alpha + 3beta + 3gamma),vec w

Passo 3

Para que a soma seja o vetor zero para quaisquer vec u,vec v,vec w, precisamos das equações
alpha + 2beta + gamma = 0, -2alpha + beta + 8gamma = 0, alpha + 3beta + 3gamma = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, da primeira equação alpha = -2beta -gamma. Substituindo na segunda:
-2(-2beta-gamma)+beta+8gamma=0 ;Longrightarrow; 5beta+10gamma=0 ;Longrightarrow; beta=-2gamma
Então alpha=3gamma. Na terceira equação temos
3gamma + 3(-2gamma) + 3gamma = 0,
que se confirma. Tomando gamma=1 obtemos a solução não trivial
alpha=3,;beta=-2,;gamma=1.

Resposta

Uma relação não trivial é
3(vec u - 2vec v + vec w) -2(2vec u + vec v + 3vec w) +1(vec u + 8vec v + 3vec w) = vec 0,
logo os três vetores são linearmente dependentes.

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