Prove que
são ld quaisquer que sejam os vetores
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em função de
:
e pede para mostrar que
são sempre linearmente dependentes. Vamos usar a definição: são dependentes se existe uma combinação
com
nem todos nulos.
Passo 2
Escrevemos
Agrupando em
, obtemos
Passo 3
Para que a soma seja o vetor zero para quaisquer
, precisamos das equações
Passo 4
Resolvendo o sistema, da primeira equação
alpha = -2beta -gamma . Substituindo na segunda:
Então
alpha=3gamma . Na terceira equação temos
que se confirma. Tomando
gamma=1 obtemos a solução não trivial
alpha=3,;beta=-2,;gamma=1 .
Resposta
Uma relação não trivial é
logo os três vetores são linearmente dependentes.