Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
cx1+x2+2 x3=-1 2 x1-x2+2 x3=-4, 4 x1+x2+4 x3=-2
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.
ii.) Resolva cada sistema de equações usando a regra de Cramer (caso seja possível).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
x1+x2+2x3=-1, 2x1-x2+2x3=-4, 4x1+x2+4x3=-2
Precisamos encontrar (x1,x2,x3) usando dois métodos: eliminação de Gauss (para levar o sistema à forma escalonada e resolver por substituição) e a regra de Cramer (calculando determinantes de matrizes).

Passo 2

Para o método de Gauss formamos a matriz aumentada
[ccc|c 1 & 1 & 2 & -1 2 & -1 & 2 & -4 4 & 1 & 4 & -2 ]
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda e 4 vezes a primeira linha da terceira obtemos
[ccc|c 1 & 1 & 2 & -1 0 & -3 & -2 & -2 0 & -3 & -4 & 2 ]
Em seguida subtraímos a segunda linha da terceira, resultando em
[ccc|c 1 & 1 & 2 & -1 0 & -3 & -2 & -2 0 & 0 & -2 & 4 ]
Da terceira linha vem -2x3=4 logo x3=-2. Substituindo na segunda temos -3x2-2(-2)=-2 então x2=2. Finalmente, pela primeira linha x1+2+2cdot(-2)=-1 segue x1=1.

Passo 3

Para a regra de Cramer calculamos primeiro o determinante da matriz dos coeficientes
D = det 1 & 1 & 2 2 & -1 & 2 4 & 1 & 4 = 6
Substituindo a coluna de x1 pelos termos independentes (-1,-4,-2) obtemos
D1=det -1 & 1 & 2 -4 & -1 & 2 -2 & 1 & 4 =6,
logo x1=D1/D=1. Análogamente
D2=det 1 & -1 & 2 2 & -4 & 2 4 & -2 & 4 =12, x2=D2/D=2,
D3=det 1 & 1 & -1 2 & -1 & -4 4 & 1 & -2 =-12, x3=D3/D=-2

Resposta

x1=1, x2=2, x3=-2

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