Sejam 2 enventos ocorrendo em iguais distâncias a partir de um observador. Suponha que o observador adote a seguinte definição de simultaneidade: Dois eventos são simultâneos se os sinais luminosos emitidos a partir de cada evento me alcançam no mesmo tempo. Mostre que de acordo com essa definição, se o observador determina que os dois eventos são simultâneos, então outro observador, que se move com relação ao primeiro, irá determinar que os dois eventos não são simultâneos.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é mostrar um clássico da Relatividade Restrita: a “relatividade da simultaneidade”. Temos dois eventos (vamos chamar de A e B) que acontecem à mesma distância de um observador estacionário O, e O os declara simultâneos pelo critério de que os flashes de luz chegam ao mesmo tempo. A matéria envolve entender como o tempo e o espaço se transformam de um referencial para outro (ou seja, usar a transformação de Lorentz). Para resolver isso vamos precisar:
  1. Definir coordenadas no referencial do observador O;
  2. Aplicar a transformação de Lorentz para passar ao referencial de um observador O′ que se move com velocidade em relação a O;
  3. Mostrar que, em O′, os dois eventos ocorrem em instantes diferentes.

Passo 2

Vamos colocar as coisas em coordenadas. No referencial de O:
  • Evento A acontece em , em .
  • Evento B acontece em , em .
    Ou seja, O viu ambos ao mesmo tempo (ele mediu essa igualdade porque recebeu os sinais juntos).

Passo 3

Agora entra a teoria: transformação de Lorentz. Se O′ se move com velocidade t' = gammal(t - v,xc^2r), x' = gammal(x - v,tr), ao longo do eixo (digamos, no sentido positivo), as coordenadas no referencial de O viram no referencial de O′ pela fórmula:
onde é o fator de Lorentz e é a velocidade da luz.

Passo 4

Vamos calcular o instante em que cada evento ocorre em O′:
Para o evento A ( t'A = gammal(0 - v,(+L)c^2r) = -,gamma,v,Lc^2 , t'B = gammal(0 - v,(-L)c^2r) = +,gamma,v,Lc^2 ):
Para o evento B ( , ):

Passo 5

Pronto, olha só:
  • Em O′, o evento A ocorre em .
  • Em O′, o evento B ocorre em .
Como , claramente .

Resposta

Portanto, mesmo que O considere A e B simultâneos (desde que recebam os flashes juntos), o observador que se move (O′) mede instantes diferentes para A e B. Isso mostra a não-invariância da simultaneidade e resolve o exercício.

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