Sejam 2 enventos ocorrendo em iguais distâncias a partir de um observador. Suponha que o observador adote a seguinte definição de simultaneidade: Dois eventos são simultâneos se os sinais luminosos emitidos a partir de cada evento me alcançam no mesmo tempo. Mostre que de acordo com essa definição, se o observador determina que os dois eventos são simultâneos, então outro observador, que se move com relação ao primeiro, irá determinar que os dois eventos não são simultâneos.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é mostrar um clássico da Relatividade Restrita: a “relatividade da simultaneidade”. Temos dois eventos (vamos chamar de A e B) que acontecem à mesma distância de um observador estacionário O, e O os declara simultâneos pelo critério de que os flashes de luz chegam ao mesmo tempo. A matéria envolve entender como o tempo e o espaço se transformam de um referencial para outro (ou seja, usar a transformação de Lorentz). Para resolver isso vamos precisar:
- Definir coordenadas no referencial do observador O;
- Aplicar a transformação de Lorentz para passar ao referencial de um observador O′ que se move com velocidade
em relação a O; - Mostrar que, em O′, os dois eventos ocorrem em instantes diferentes.
Passo 2
Vamos colocar as coisas em coordenadas. No referencial de O:
- Evento A acontece em
, em . - Evento B acontece em
, em .
Ou seja, O viu ambos ao mesmo tempo(ele mediu essa igualdade porque recebeu os sinais juntos).
Passo 3
Agora entra a teoria: transformação de Lorentz. Se O′ se move com velocidade
ao longo do eixo
(digamos, no sentido positivo), as coordenadas
no referencial de O viram
no referencial de O′ pela fórmula:
onde
é o fator de Lorentz e
é a velocidade da luz.
Passo 4
Vamos calcular o instante em que cada evento ocorre em O′:
Para o evento A (
,
):
Para o evento B (
,
):
Passo 5
Pronto, olha só:
- Em O′, o evento A ocorre em
. - Em O′, o evento B ocorre em
.
Como
, claramente
.
Resposta
Portanto, mesmo que O considere A e B simultâneos (desde que recebam os flashes juntos), o observador que se move (O′) mede instantes diferentes para A e B. Isso mostra a não-invariância da simultaneidade e resolve o exercício.