Para cada uma das escolhas de A e b a seguir, determine se b pertence ao espaço coluna de A e diga se o sistema é ou não compatível. , b=binom48
Passo 1
O enunciado pede verificar, para
A = 1 & 2 2 & 4, b = 4 8,
se b pertence ao espaço coluna de A e, consequentemente, se o sistema Ax=b é compatível. O conteúdo envolve conceitos de espaço coluna (coluna de uma matriz) e condição de existência de solução em sistemas lineares.
Passo 2
As colunas de A são
c1 = 12, c2 = 24
Como observe que
c2 = 2,c1,
elas são linearmente dependentes. Logo o espaço coluna de A é
Col(A) = spanlc1r = lalpha,12mid alphainRr
Passo 3
Para checar se
b = 48
está em Col(A), buscamos alpha tal que
alpha,12 = 48
Isto dá o sistema alpha=4 e 2alpha=8, que é consistente com alpha=4. Portanto
binCol(A)
Passo 4
Como b está no espaço coluna de A, o sistema Ax=b é compatível. As equações escritas são
x1 + 2x2 = 4, 2x1 +4x2 = 8,
mas a segunda é apenas o dobro da primeira. Assim há infinitas soluções, por exemplo
x1 = 4 - 2x2, x2inR
Resposta
b pertence ao espaço coluna de A e o sistema Ax=b é compatível, com infinitas soluções.