P 13.1. Classifique as seguintes matrizes quanto a serem (semi)definidas positivas, negativas, ou indefinidas ( é um parâmetro real).
Passo 1
O enunciado nos pede para classificar a matriz simétrica
A = 2 & 1 1 & 3
quanto à definitude (positiva, negativa ou indefinida). Vamos usar o Critério de Sylvester, que se aplica a matrizes simétricas de ordem 2.
Passo 2
O Critério de Sylvester afirma que uma matriz simétrica de ordem 2 é definida positiva se, e somente se, seus menores principais forem positivos. Precisamos verificar:
d1 = a11
d2 = det(A)
Passo 3
Calculamos o primeiro menor principal:
d1 = 2
Como d1>0, o primeiro requisito para positividade está satisfeito.
Passo 4
Calculamos o segundo menor principal, que é o determinante de A:
det(A) = 2cdot3 - 1cdot1 = 5
Como det(A)>0, o segundo requisito também está satisfeito.
Passo 5
Como ambos os menores principais são positivos (d1>0 e d2>0), concluímos que A é definida positiva.