P 13.1. Classifique as seguintes matrizes quanto a serem (semi)definidas positivas, negativas, ou indefinidas ( a é um parâmetro real).
[ll2 & 1 1 & 3]

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a matriz simétrica
A = 2 & 1 1 & 3
quanto à definitude (positiva, negativa ou indefinida). Vamos usar o Critério de Sylvester, que se aplica a matrizes simétricas de ordem 2.

Passo 2

O Critério de Sylvester afirma que uma matriz simétrica de ordem 2 é definida positiva se, e somente se, seus menores principais forem positivos. Precisamos verificar:
d1 = a11
d2 = det(A)

Passo 3

Calculamos o primeiro menor principal:
d1 = 2
Como d1>0, o primeiro requisito para positividade está satisfeito.

Passo 4

Calculamos o segundo menor principal, que é o determinante de A:
det(A) = 2cdot3 - 1cdot1 = 5
Como det(A)>0, o segundo requisito também está satisfeito.

Passo 5

Como ambos os menores principais são positivos ( d1>0 e d2>0), concluímos que A é definida positiva.

Resposta

A matriz é definida positiva.

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