Sejam os espaços vetoriais V=Pn in W=R. A transformação T: Pn longrightarrow R definida por T(u)=integrala^b u d t(a, b in R), que a cada polinómio u in V associa sua integral definida T(u) in R, é linear.
De fato:
Por meio de teoremas do Cálculo, sabe-se que:
l T(u+v)=integrala^b(u+v) d t=integrala^b u d t+integrala^b v d t=T(u)+T(v) e T(alpha u)=integrala^b(alpha u) d t=alpha integrala^b u d t=alpha T(u)

Passo 1

O enunciado define os espaços vetoriais V = Pn e W = R e a transformação
Tcolon V to W, T(u) = integrala^bu(t),dt
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(alpha u)=alpha,T(u).

Passo 2

Aplicando a propriedade de linearidade da integral à soma de funções:
T(u+v) = integrala^bl(u(t)+v(t)r),dt = integrala^bu(t),dt + integrala^bv(t),dt = T(u) + T(v)

Passo 3

Aplicando a propriedade de fator constante da integral:
T(alpha u) = integrala^balpha,u(t),dt = alpha integrala^bu(t),dt = alpha,T(u)

Resposta

A transformação T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

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