Sejam os espaços vetoriais
. A transformação
definida por
, que a cada polinómio
associa sua integral definida
, é linear.
De fato:
Por meio de teoremas do Cálculo, sabe-se que:
Passo 1
O enunciado define os espaços vetoriais
e
e a transformação
Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Aplicando a propriedade de linearidade da integral à soma de funções:
Passo 3
Aplicando a propriedade de fator constante da integral:
Resposta
A transformação
satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.