Sejam
e
eventos de um espaço amostral. Sabe-se que
e
. Verifique se se seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
e
são mutuamente exclusivos;
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades
, e pede para verificar se a afirmativa a seguir é verdadeira:
Afirmativa: e
são mutuamente exclusivos.
Informações relevantes listadas:
Afirmativa:
Informações relevantes listadas:
-
. -
. -
. - A pergunta é apenas se a afirmação "
e são mutuamente exclusivos" é verdadeira ou falsa, com justificativa.
Passo 2
Definição essencial (explicada com calma): dois eventos
e
são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente, isto é, quando a interseção deles é vazia. Em termos de probabilidade, isso equivale a:
Aqui vamos aplicar essa definição a
e
. Então a condição necessária e suficiente para serem mutuamente exclusivos é
.
Passo 3
Fórmula útil e por que ela vale: o conjunto
pode ser particionado em duas partes disjuntas — a parte de
que ocorre junto com
e a parte de
que ocorre junto com
. Escrevemos isso assim:
com as duas partes disjuntas. Como são disjuntas, soma-se a probabilidade:
Essa identidade é muito prática: dado
e
, podemos achar
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números fornecidos:
Substituindo
e
:
Passo 5
Calcule a diferença (faça à mão devagar):
. Em TeX:
Isso significa que existe probabilidade positiva (
) do evento
ocorrer ao mesmo tempo que
não ocorre. Pela definição de mutuamente exclusivos (veja o Passo 2), se fossem mutuamente exclusivos essa probabilidade teria de ser zero.
Passo 6
Conclusão lógica: como
, a interseção não é vazia em termos de probabilidade; portanto
e
não são mutuamente exclusivos.
Resposta
Falsa —
e
não são mutuamente exclusivos, pois
.