Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que P(A)=0,3 ; P(B)=0,7 e P(A \cap B)=0,21. Verifique se se seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
A e B^{c} são mutuamente exclusivos;

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades \,P(A)=0,3\,,\;P(B)=0,7\,,\;P(A\cap B)=0,21, e pede para verificar se a afirmativa a seguir é verdadeira:
Afirmativa: A e B^{c} são mutuamente exclusivos.
Informações relevantes listadas:
  • P(A)=0,3.
  • P(B)=0,7.
  • P(A\cap B)=0,21.
  • A pergunta é apenas se a afirmação " A e B^{c} são mutuamente exclusivos" é verdadeira ou falsa, com justificativa.

Passo 2

Definição essencial (explicada com calma): dois eventos E e F são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente, isto é, quando a interseção deles é vazia. Em termos de probabilidade, isso equivale a:
E \text{ e } F \text{ são mutuamente exclusivos} \quad\Longleftrightarrow\quad P(E\cap F)=0.ã
Aqui vamos aplicar essa definição a E=A e F=B^{c}. Então a condição necessária e suficiente para serem mutuamente exclusivos é P(A\cap B^{c})=0.

Passo 3

Fórmula útil e por que ela vale: o conjunto A pode ser particionado em duas partes disjuntas — a parte de A que ocorre junto com B e a parte de A que ocorre junto com B^{c}. Escrevemos isso assim:
A=(A\cap B)\cup (A\cap B^{c}),
com as duas partes disjuntas. Como são disjuntas, soma-se a probabilidade:
P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c}).
Essa identidade é muito prática: dado P(A) e P(A\cap B), podemos achar P(A\cap B^{c}).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números fornecidos:
P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B).
Substituindo \,P(A)=0,3 e \,P(A\cap B)=0,21:
P(A\cap B^{c})=0,3-0,21.

Passo 5

Calcule a diferença (faça à mão devagar): 0,30-0,21=0,09. Em TeX:
P(A\cap B^{c})=0,09.
Isso significa que existe probabilidade positiva ( 0,09) do evento A ocorrer ao mesmo tempo que B não ocorre. Pela definição de mutuamente exclusivos (veja o Passo 2), se fossem mutuamente exclusivos essa probabilidade teria de ser zero.

Passo 6

Conclusão lógica: como P(A\cap B^{c})=0,09\neq0, a interseção não é vazia em termos de probabilidade; portanto A e B^{c} não são mutuamente exclusivos.

Resposta

Falsa — A e B^{c} não são mutuamente exclusivos, pois P(A\cap B^{c})=0,09\neq0.

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