Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que P(A)=0,3 ; P(B)=0,7 e P(A \cap B)=0,21. Verifique se se seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
A e B^{c} são independentes;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
P(A)=0,3,\qquad P(B)=0,7,\qquad P(A\cap B)=0,21.
A pergunta que precisamos responder é: A e B^{c} são independentes?

Passo 2

Vamos lembrar a definição de independência entre dois eventos. Dois eventos X e Y são independentes se, e somente se,
P(X\cap Y)=P(X)\,P(Y).
Isto significa que a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos é igual ao produto das probabilidades individuais — em linguagem simples, conhecer que um ocorreu não altera a probabilidade do outro.

Passo 3

Calculemos a probabilidade do complementar de B. Pela relação entre um evento e seu complementar,
P(B^{c})=1-P(B).
Substituindo o valor dado,
P(B^{c})=1-0,7=0,3.

Passo 4

Agora calculemos o produto P(A)\,P(B^{c}), que é o lado direito da condição de independência:
P(A)\,P(B^{c})=0,3\cdot 0,3=0,09.

Passo 5

Precisamos do lado esquerdo da condição, ou seja P(A\cap B^{c}). Note que os eventos A\cap B e A\cap B^{c} são disjuntos e sua união é A. Assim
P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c}).
Desse modo podemos isolar P(A\cap B^{c}):
P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)=0,3-0,21=0,09.

Passo 6

Comparando os dois valores obtidos temos
P(A\cap B^{c})=0,09\quad\text{e}\quad P(A)\,P(B^{c})=0,09.
Como os dois são iguais, a igualdade da definição de independência é satisfeita.

Resposta

Verdadeiro.

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