Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que \operatorname{Pr}(A)=0,3 ; \operatorname{Pr}(B)=0,7 e \operatorname{Pr}(A \cap B)=0,21. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
(a) A e B são mutuamente exclusivos;
(b) A e B são independentes;
(c) A e \bar{B} são independentes.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B com \operatorname{Pr}(A)=0,3, \operatorname{Pr}(B)=0,7 e \operatorname{Pr}(A\cap B)=0,21.
Queremos verificar três propriedades:
– Mutuamente exclusivos: \operatorname{Pr}(A\cap B)=0.
– Independência de A e B: \operatorname{Pr}(A\cap B)=\operatorname{Pr}(A)\operatorname{Pr}(B).
– Independência de A e \bar{B}: \operatorname{Pr}(A\cap \bar{B})=\operatorname{Pr}(A)\operatorname{Pr}(\bar{B}).

Passo 2

Verificando se são mutuamente exclusivos, comparamos
\operatorname{Pr}(A\cap B)=0,21
com o valor zero. Como 0,21\neq0, concluímos que A e B não são mutuamente exclusivos.

Passo 3

Para testar independência de A e B, calculamos
\operatorname{Pr}(A)\,\operatorname{Pr}(B) =0,3\cdot0,7 =0,21.
Como isso coincide com \operatorname{Pr}(A\cap B)=0,21, segue que A e B são independentes.

Passo 4

Para A e \bar{B}, primeiro achamos
\operatorname{Pr}(A\cap \bar{B}) =\operatorname{Pr}(A)-\operatorname{Pr}(A\cap B) =0,3-0,21 =0,09,
e
\operatorname{Pr}(\bar{B}) =1-\operatorname{Pr}(B) =1-0,7 =0,3.
O produto é
\operatorname{Pr}(A)\,\operatorname{Pr}(\bar{B}) =0,3\cdot0,3 =0,09,
igual a \operatorname{Pr}(A\cap \bar{B}), logo A e \bar{B} são independentes.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro

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