Sejam f:[0, infty) R uma função contínua por partes e t0 >= 0 um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função de que é definida pela seguinte propriedade:
integral0^infty f(t) de
b) Encontre a solução do PVI: y^prime prime+4 y=4 de.

Passo 1

Nesse problema, temos o PVI y''+4y=4,de com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo aqui é resolução de EDO com impulso usando transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar de duas propriedades: a transformada de Laplace de y'' e o fato de Lde, além de saber que L^-11/(s^2+4)=(1/2)sin(2t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na equação e usando y(0)=y'(0)=0, obtemos
(s^2+4)Y(s)=4,Lde

Passo 3

Isolando Y(s) vem
Y(s)=2e^-spi/6s^2+4=2e^-spi/6cdot1s^2+4
Aqui reconhecemos que L^-11/(s^2+4)=(1/2)sin(2t).

Passo 4

Usamos a propriedade de deslocamento no tempo: L^-1e^-asF(s)=f(t-a)u(t-a). Logo,
y(t)=2cdot12sinl(2(t-tfracpi6)r)ul(t-tfracpi6r)=sinl(2t-tfracpi3r),ul(t-tfracpi6r)

Resposta

y(t)= 0,&t=tfracpi6

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