Determine se a série converge.
sumk=1^infty 1raizk+5

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumk=1^infty 1raizk+5 converge ou diverge. O conteúdo envolvido são séries numéricas de termos positivos e vamos usar o teste de comparação (mais precisamente o teste da comparação limite) com uma p-série.

Passo 2

Lembrando do resultado sobre p-séries: a série sumk=1^infty 1k^p converge se p>1 e diverge se p<= 1. No nosso caso, se conseguirmos compará-la a uma p-série com p=tfrac12, saberemos o comportamento.

Passo 3

Definimos ak=1raizk+5 e bk=1k^1/2. Calculamos o limite
L=limktoinftyakbk=limktoinfty1/raizk+51/raizk=limktoinftyraizkraizk+5=1

Passo 4

Como 0, pela comparação limite as duas séries têm o mesmo comportamento. Sabemos que sum bk=sum1/k^1/2 diverge (pois p=1/2<=1), logo sum ak também diverge.

Resposta

A série diverge.

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