Sejam f: A B e g: B C funções.
Exiba um exemplo em que Im(g circ f) neq Im(g).

Passo 1

Então, o enunciado pede: “Dadas duas funções
e , mostre um exemplo onde
.”
Isso é matéria de funções — mais especificamente imagem de função e composição.
Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. Definir três conjuntos bem simples: , e .
  2. Dar uma regra para e outra para .
  3. Calcular as imagens e e ver que elas não batem.

Passo 2

Vamos escolher:
  • fcolon Ato B, f(1)=1; gcolon Bto C, g(1)=a, g(2)=b ,
  • ,
  • .
    Definimos as funções assim:
Lembra que a composição é .

Passo 3

  1. Primeiro, Im(g)=a,b é o conjunto de todos os valores que Im(gcirc f)=a atinge em .
    Como e , , fica
  2. Agora :
    • só manda para .
    • Logo, .
      Não tem outro elemento em , então
  3. Comparando, .

Resposta

Um exemplo é
A=1, B=1,2, C=a,b,
f(1)=1, g(1)=a,;g(2)=b
Dai e , logo .

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