Sejam
e
funções.
Verdadeiro ou falso: se
é sobrejetora, então toda restrição de
é sobrejetora.
Verdadeiro ou falso: se
Passo 1
O enunciado diz: “Sejam
e
funções. Verdadeiro ou falso: se
é sobrejetora, então toda restrição de
é sobrejetora.”
Conteúdo: teoria de sobrejeção e restrição de função.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de sobrejeção e restrição de função.
O que vamos precisar:
- Definição de função sobrejetora.
- Definição de restrição de uma função a um subconjunto do domínio.
Passo 2
Definição de sobrejetora (surjetiva):
Uma função
é sobrejetora se, para todo
, existe pelo menos um
tal que
Em outras palavras, a imagem de é todo o conjunto
.
Em outras palavras, a imagem de
Passo 3
Definição de restrição de função:
Se é um subconjunto de
(ou seja,
), a restrição de
a
é a função
Se
definida por
Agora, por que uma restrição pode não ser sobrejetora?
Para ser sobrejetora, cada precisa ter um
com
. Mas se
“corta” o domínio de modo que alguns
que antes mapeavam para certos
fiquem de fora, esses
deixarão de ter preimagem em
.
Para ser sobrejetora, cada
Exemplo concreto:
Considere ,
e a função
Considere
Claramente
Agora faça a restrição em
Note que não existe
tal que
. Logo
não é sobrejetora.
Resposta
Falso. Apresentamos um contraexemplo mostrando que restringir o domínio pode eliminar preimagens necessárias para cobrir todo o conjunto
.