Sejam f: A B e g: B C funções.
Verdadeiro ou falso: se f é sobrejetora, então toda restrição de f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado diz: “Sejam fcolon A to B e gcolon B to C funções. Verdadeiro ou falso: se f é sobrejetora, então toda restrição de f é sobrejetora.”
Conteúdo: teoria de sobrejeção e restrição de função.
O que vamos precisar:
  1. Definição de função sobrejetora.
  2. Definição de restrição de uma função a um subconjunto do domínio.

Passo 2

Definição de sobrejetora (surjetiva):
Uma função fcolon A to B é sobrejetora se, para todo yin B, existe pelo menos um xin A tal que f(x)=y,
Em outras palavras, a imagem de f é todo o conjunto B.

Passo 3

Definição de restrição de função:
Se X é um subconjunto de A (ou seja, Xsubseteq A), a restrição de f a X é a função
f|Xcolon X ;longrightarrow; B
definida por f|X(x)=f(x) para todo xin X.
Agora, por que uma restrição pode não ser sobrejetora?
Para ser sobrejetora, cada yin B precisa ter um xin X com f(x)=y. Mas se X “corta” o domínio de modo que alguns x que antes mapeavam para certos y fiquem de fora, esses y deixarão de ter preimagem em X,.
Exemplo concreto:
Considere A=1,2, B=a,b e a função
fcolon Ato B, f(1)=a,;f(2)=b
Claramente f é sobrejetora, pois a vem de 1 e b vem de 2.
Agora faça a restrição em X=1subset A. Aí
f|Xcolon1toa,b, f|X(1)=a
Note que não existe xin1 tal que f|X(x)=b. Logo f|X não é sobrejetora.

Resposta

Falso. Apresentamos um contraexemplo mostrando que restringir o domínio pode eliminar preimagens necessárias para cobrir todo o conjunto B,.

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