Sejam f uma função composta. Suponha que
|f(x)| <= x^2
para todo x in R, então verifique que
lim x 0 f(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer mostrar que o limite de uma função quando se aproxima de 0 é igual a 0. O enunciado nos dá que para todo real. Vamos usar alguns conceitos de limites e desigualdades para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que o valor absoluto de nunca é maior que para qualquer . Ou seja, está “presa” entre e .

Passo 3

Agora, vamos pensar no limite de limx to 0 x^2 = 0 quando tende a 0. Sabemos que:
Isso porque, conforme fica mais perto de 0, também fica cada vez menor, chegando a 0.

Passo 4

Como e o limite de é 0, podemos aplicar o Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto). Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite.

Resposta

Portanto, concluímos que:
limx to 0 f(x) = 0

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