Sejam
uma função,
um número real e suponhamos que existam
e
tais que
e
estejam contidos em
. Então, prove que
Passo 1
A gente tem uma função
definida num domínio que contém um intervalo à esquerda e à direita de
, e quer mostrar que o limite
existe se e somente se existem os limites laterais em
e ambos são iguais a
. Vamos usar as definições de limite (global e laterais) no estilo
-
.
Passo 2
Precisamos lembrar as definições formais:
Para os limites laterais, temos
Passo 3
(⇒) Suponha
. Então, dado
, existe
tal que sempre que
a gente tem
. Basta notar que qualquer ponto
com
ou com
também satisfaz
, logo tanto o limite pela direita quanto o limite pela esquerda existem e valem
.
Passo 4
(⇐) Agora, suponha que os limites laterais existem e valem
. Dado
, pelos limites laterais existem
e
tais que
sempre que
e também sempre que
. Basta tomar
. Então, para qualquer
com
, temos ou
ou
, garantindo
. Isso mostra
.
Passo 5
Com isso provamos os dois sentidos da equivalência, concluindo que
ocorre exatamente quando existem
e
e ambos são iguais a
.
Resposta
Logo, temos