Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b tais que |a, p| e |p, b| estejam contidos em Df. Então, prove que
lim x p f(x)=L Leftrightarrowl f admite limites laterais à direita e à esquerda em p e lim x p^+ f(x)=lim x p f(x)=L àà

Passo 1

A gente tem uma função f definida num domínio que contém um intervalo à esquerda e à direita de p, e quer mostrar que o limite limxto pf(x)=L existe se e somente se existem os limites laterais em p e ambos são iguais a L. Vamos usar as definições de limite (global e laterais) no estilo varepsilon- de.

Passo 2

Precisamos lembrar as definições formais:
limxto pf(x)=L Long<=ftrightarrow forallvarepsilon>0,existsde0:;0<|x-p|
Para os limites laterais, temos
limxto p^+f(x)=L Long<=ftrightarrow forallvarepsilon>0,existsde0:;0
limxto p^-f(x)=L Long<=ftrightarrow forallvarepsilon>0,existsde0:;0

Passo 3

(⇒) Suponha limxto pf(x)=L. Então, dado varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que 0<|x-p| a gente tem |f(x)-L|. Basta notar que qualquer ponto x com 0 ou com 0 também satisfaz 0<|x-p|, logo tanto o limite pela direita quanto o limite pela esquerda existem e valem L.

Passo 4

(⇐) Agora, suponha que os limites laterais existem e valem L. Dado varepsilon>0, pelos limites laterais existem de0 e de0 tais que |f(x)-L| sempre que 0 e também sempre que 0. Basta tomar de. Então, para qualquer x com 0<|x-p|, temos ou 0 ou 0, garantindo |f(x)-L|. Isso mostra limxto pf(x)=L.

Passo 5

Com isso provamos os dois sentidos da equivalência, concluindo que limxto pf(x)=L ocorre exatamente quando existem limxto p^-f(x) e limxto p^+f(x) e ambos são iguais a L.

Resposta

Logo, temos
limxto pf(x)=L iff limxto p^-f(x)=limxto p^+f(x)=L

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