Sejam f, g:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} contínuas tasis que f(a)<g(a) e f(b)>g(b). Mostre que existe um x_{0} \in[a, b] tal que f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right). Sugestão: Defina uma função h:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} dada por h(x)=f(x)-g(x). Em seguida, use o T.V.I.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g:[a,b]\to\mathbb{R} contínuas e as desigualdades nas extremidades do intervalo:
  • f(a)<g(a).
  • f(b)>g(b).
O que ele pede: mostrar que existe x_{0}\in[a,b] tal que f(x_{0})=g(x_{0}).
Informações relevantes dadas:
  • As duas funções são contínuas em todo o intervalo [a,b].
  • Em x=a a função f está abaixo de g.
  • Em x=b a função f está acima de g.

Passo 2

Definir a função sugerida e ver suas propriedades básicas.
Definição: seja h:[a,b]\to\mathbb{R} dada por
h(x)=f(x)-g(x).
Por que isso ajuda? Porque h(x)=0 é exatamente a equação f(x)=g(x). Então, encontrar x com h(x)=0 resolve o problema.
Agora as propriedades de h:
  • Como f e g são contínuas em [a,b], a diferença de funções contínuas também é contínua. Logo h é contínua em [a,b].
  • Calcule os valores em a e b: h(a)=f(a)-g(a)<0, \qquad h(b)=f(b)-g(b)>0.Portanto h troca de sinal entre a e b: é negativa em a e positiva em b.

Passo 3

Enunciado útil (T.V.I. / Teorema do Valor Intermediário / teorema de Bolzano, versão para função contínua):
Se uma função contínua h em [a,b] satisfaz h(a)\cdot h(b)\le 0 e, mais especificamente, h(a)<0<h(b) (ou o contrário), então existe c\in[a,b] tal que h\text{(c)}=0.
Intuição rápida: uma função contínua não pode “pular” de negativo para positivo sem passar por zero. Agora vou provar esse fato para o nosso caso (o passo seguinte faz isso formalmente).

Passo 4

Prova do T.V.I. (caso específico em que h(a)<0<h(b)), usando o argumento do supremo (prova clássica de Bolzano). Vou ser explícito nos detalhes para você poder repetir numa prova.
  1. Definir o conjunto
S=\{x\in[a,b]\mid h(x)\le 0\}.
Observações imediatas:
  • Como h(a)<0, tem-se a\in S. Portanto S não é vazio.
  • Como S\subset[a,b], o conjunto S é limitado superiormente por b.
  • Pelo Axioma do Supremo (completude dos reais), S tem supremo. Denote c=\sup S. Então c\in[a,b].
  1. Mostrar que h\text{(c)}\le 0.
    Pelo fato de c=\sup S, existem pontos de S arbitrariamente próximos de c pela esquerda. Formalmente, para cada n\in\mathbb{N} existe x_n\in S com c-\tfrac{1}{n}<x_n\le c. Assim (x_n) é uma sequência em S que converge para c. Como para todo n vale h(x_n)\le 0 e h é contínua, toma-se limite:
h\text{(c)}=\lim_{n\to\infty} h(x_n)\le 0.
  1. Mostrar que h\text{(c)}\ge 0.
    Suponha, por contradição, que h\text{(c)}<0. Então escolha \varepsilon = -\tfrac{1}{2}h\text{(c)}>0. Pela continuidade de h em c existe \delta>0 tal que, se |x-c|<\delta, então |h(x)-h\text{(c)}|<\varepsilon. Em particular, para tais x vale
h(x) < h\text{(c)}+\varepsilon = \tfrac{1}{2}h\text{(c)} <0.
Logo todo x em (c,c+\delta)\cap[a,b] satisfaz h(x)<0, isto é, pertence a S. Isso contradiz o fato de c ser um supremo de S (pois então haveria elementos de S maiores que c). Portanto a suposição h\text{(c)}<0 é absurda, e segue que h\text{(c)}\ge 0.
  1. Concluir: das duas desigualdades obtidas temos h\text{(c)}\le 0 e h\text{(c)}\ge 0. Portanto h\text{(c)}=0.
Esse c é exatamente o ponto onde a função contínua passa de negativo para positivo; é o ponto buscado.

Passo 5

Interpretação final do que foi demonstrado e ligação com o enunciado original.
Encontramos c\in[a,b] tal que h\text{(c)}=0. Como h(x)=f(x)-g(x), ter h\text{(c)}=0 é equivalente a
f\text{(c)}-g\text{(c)}=0\quad\Longleftrightarrow\quad f\text{(c)}=g\text{(c)}.
Portanto existe um ponto x_{0}=c\in[a,b] com f(x_{0})=g(x_{0}), que era exatamente o que se pedia.

Passo 6

Um exemplo concreto (para fixar a ideia): tome f(x)=x e g(x)=0 em [a,b]=[-1,1]. Então f(-1)=-1<0=g(-1) e f(1)=1>0=g(1). A função h(x)=f(x)-g(x)=x é contínua e muda de sinal, e realmente existe x_0=0 tal que h(0)=0, isto é, f(0)=g(0). Esse exemplo é a “imagem” simples do argumento geral.

Passo 7

Recado encorajador: a ideia-chave para provas desse tipo é sempre tentar transformar a igualdade em f(x)=g(x) numa raiz de uma função auxiliar h(x)=f(x)-g(x), usar continuidade para garantir mudança de sinal e aplicar o T.V.I. — é um truque que cai bastante em prova. Boa! Respira, faz de novo em voz alta e repete o raciocínio; fica na memória.

Resposta

Existe x_{0}\in[a,b] tal que f(x_{0})=g(x_{0}).

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