Sejam
contínuas tasis que
e
. Mostre que existe um
tal que
. Sugestão: Defina uma função
dada por
. Em seguida, use o T.V.I.
Passo 1
O enunciado dá duas funções
contínuas e as desigualdades nas extremidades do intervalo:
-
. -
.
O que ele pede: mostrar que existe
tal que
.
Informações relevantes dadas:
- As duas funções são contínuas em todo o intervalo
. - Em
a função está abaixo de . - Em
a função está acima de .
Passo 2
Definir a função sugerida e ver suas propriedades básicas.
Definição: seja
dada por
Por que isso ajuda? Porque
é exatamente a equação
. Então, encontrar
com
resolve o problema.
Agora as propriedades de
:
- Como
e são contínuas em , a diferença de funções contínuas também é contínua. Logo é contínua em . - Calcule os valores em
e : Portanto troca de sinal entre e : é negativa em e positiva em .
Passo 3
Enunciado útil (T.V.I. / Teorema do Valor Intermediário / teorema de Bolzano, versão para função contínua):
Se uma função contínua em
satisfaz
e, mais especificamente,
(ou o contrário), então existe
tal que
.
Se uma função contínua
Intuição rápida: uma função contínua não pode “pular” de negativo para positivo sem passar por zero. Agora vou provar esse fato para o nosso caso (o passo seguinte faz isso formalmente).
Passo 4
Prova do T.V.I. (caso específico em que
), usando o argumento do supremo (prova clássica de Bolzano). Vou ser explícito nos detalhes para você poder repetir numa prova.
- Definir o conjunto
Observações imediatas:
- Como
, tem-se . Portanto não é vazio. - Como
, o conjunto é limitado superiormente por . - Pelo Axioma do Supremo (completude dos reais),
tem supremo. Denote . Então .
- Mostrar que
.
Pelo fato de, existem pontos de arbitrariamente próximos de pela esquerda. Formalmente, para cada existe com . Assim é uma sequência em que converge para . Como para todo vale e é contínua, toma-se limite:
- Mostrar que
.
Suponha, por contradição, que. Então escolha . Pela continuidade de em existe tal que, se , então . Em particular, para tais vale
Logo todo
em
satisfaz
, isto é, pertence a
. Isso contradiz o fato de
ser um supremo de
(pois então haveria elementos de
maiores que
). Portanto a suposição
é absurda, e segue que
.
- Concluir: das duas desigualdades obtidas temos
e . Portanto .
Esse
é exatamente o ponto onde a função contínua passa de negativo para positivo; é o ponto buscado.
Passo 5
Interpretação final do que foi demonstrado e ligação com o enunciado original.
Encontramos
tal que
. Como
, ter
é equivalente a
Portanto existe um ponto
com
, que era exatamente o que se pedia.
Passo 6
Um exemplo concreto (para fixar a ideia): tome
e
em
. Então
e
. A função
é contínua e muda de sinal, e realmente existe
tal que
, isto é,
. Esse exemplo é a “imagem” simples do argumento geral.
Passo 7
Recado encorajador: a ideia-chave para provas desse tipo é sempre tentar transformar a igualdade em
numa raiz de uma função auxiliar
, usar continuidade para garantir mudança de sinal e aplicar o T.V.I. — é um truque que cai bastante em prova. Boa! Respira, faz de novo em voz alta e repete o raciocínio; fica na memória.
Resposta
Existe
tal que
.