Determinar as derivada laterais em
, caso existam, das funções dadas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas laterais em
da função dada. As informações relevantes são:
- A função é
para . - O ponto onde queremos as derivadas laterais é
. - As perguntas específicas: calcular a derivada à direita
e a derivada à esquerda , quando existirem.
Passo 2
Vou lembrar a definição operativa das derivadas laterais, que é o que usamos na prova:
- A derivada à direita em
é
- A derivada à esquerda em
é
Também calculo o valor de
em
:
Passo 3
Calculo o quociente incremental geral para
:
Portanto as duas derivadas laterais se reduzem aos limites de
quando
tende a
pela direita ou pela esquerda:
Passo 4
Agora avalio esses limites. Posso justificar de duas formas simples e úteis na prova:
- Usando continuidade: a função
é contínua em , logo
Como o limite bilateral existe e vale
, os limites unilaterais também valem
.
- (Alternativa rigorosa) Usando o teorema do confronto (squeeze): sabe-se que para todo
vale . Como , pela desigualdade de confronto segue . Isso vale tanto para quanto para .
Ambas as justificativas mostram que
Passo 5
Concluo, portanto, que as derivadas laterais existem e têm o valor indicado pelos limites calculados. (No próximo bloco está apenas a resposta final, formatada para conferência.)