Determinar as derivada laterais em x_{0}, caso existam, das funções dadas a seguir.
f(x)=x \operatorname{sen}(x), \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas laterais em x_{0}=0 da função dada. As informações relevantes são:
  • A função é f(x)=x\sin(x) para x\in\mathbb{R}.
  • O ponto onde queremos as derivadas laterais é x_{0}=0.
  • As perguntas específicas: calcular a derivada à direita f'_{+}(0) e a derivada à esquerda f'_{-}(0), quando existirem.

Passo 2

Vou lembrar a definição operativa das derivadas laterais, que é o que usamos na prova:
  • A derivada à direita em 0 é
f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
  • A derivada à esquerda em 0 é
f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Também calculo o valor de f em 0:
f(0)=0\cdot\sin(0)=0.

Passo 3

Calculo o quociente incremental geral para h\neq 0:
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h\sin(h)-0}{h}=\sin(h).
Portanto as duas derivadas laterais se reduzem aos limites de \sin(h) quando h tende a 0 pela direita ou pela esquerda:
f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\sin(h),\qquad f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\sin(h).

Passo 4

Agora avalio esses limites. Posso justificar de duas formas simples e úteis na prova:
  1. Usando continuidade: a função \sin é contínua em 0, logo
\lim_{h\to 0}\sin(h)=\sin(0)=0.
Como o limite bilateral existe e vale 0, os limites unilaterais também valem 0.
  1. (Alternativa rigorosa) Usando o teorema do confronto (squeeze): sabe-se que para todo h vale |\sin(h)|\le |h|. Como \lim_{h\to 0}|h|=0, pela desigualdade de confronto segue \lim_{h\to 0}\sin(h)=0. Isso vale tanto para h\to 0^{+} quanto para h\to 0^{-}.
Ambas as justificativas mostram que
\lim_{h\to 0^{+}}\sin(h)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to 0^{-}}\sin(h)=0.

Passo 5

Concluo, portanto, que as derivadas laterais existem e têm o valor indicado pelos limites calculados. (No próximo bloco está apenas a resposta final, formatada para conferência.)

Resposta

f'_{+}(0)=0
f'_{-}(0)=0

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