Sejam
e
funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a
e
das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as derivadas da função $ h(x, y) = f(x) \cdot g(y) $ em relação a $ x $ e a $ y $. A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ h(x, y) $ em relação a $ x $, que chamamos de derivada parcial
. Como $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e estamos derivando em relação a $ x $, $ g(y) $ é tratada como uma constante.
Passo 3
Usamos a regra básica da derivada para funções constantes multiplicadas por funções variáveis. A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é $ f’(x) $. Então, multiplicamos isso por $ g(y) $, que é constante em relação a $ x $.
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de $ h(x, y) $ em relação a $ y $, ou seja, a derivada parcial
. Aqui, $ f(x) $ é uma função que depende apenas de $ x $ e, ao derivar em relação a $ y $, $ f(x) $ é tratada como uma constante.
Passo 5
Aplicamos a mesma lógica da regra da derivada para constantes. A derivada de $ g(y) $ em relação a $ y $ é $ g’(y) $. Multiplicamos isso por $ f(x) $, que é constante em relação a $ y $.
Resposta
As derivadas parciais da função $ h(x, y) = f(x) \cdot g(y) $ são: