Sejam
e
funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a
e
das funções abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a derivada em relação a $ x $ e $ y $ da função $ h(x, y) = f(xy) $. Isso envolve o estudo de derivadas parciais e o uso da regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $.
A função $ h(x, y) = f(xy) $ depende de $ x $ através do produto $ xy $. Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Onde $ f’ $ é a derivada de $ f $ em relação ao seu argumento.
Passo 4
Calculando a derivada de $ xy $ em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra da cadeia, já que $ h $ depende de $ y $ através de $ xy $.
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 8
Calculando a derivada de $ xy $ em relação a $ y $:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais de $ h(x, y) = f(xy) $ são:
e