Sejam f e g funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a x e y das funções abaixo:
h(x, y)=f(x y)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a derivada em relação a $ x $ e $ y $ da função $ h(x, y) = f(xy) $. Isso envolve o estudo de derivadas parciais e o uso da regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $.
A função $ h(x, y) = f(xy) $ depende de $ x $ através do produto $ xy $. Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos:
partial hpartial x = f'(xy) cdot partial (xy)partial x
Onde $ f’ $ é a derivada de $ f $ em relação ao seu argumento.

Passo 4

Calculando a derivada de $ xy $ em relação a $ x $:
xy

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial hpartial x = f'(xy) cdot y

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra da cadeia, já que $ h $ depende de $ y $ através de $ xy $.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
partial hpartial y = f'(xy) cdot partial (xy)partial y

Passo 8

Calculando a derivada de $ xy $ em relação a $ y $:
xy

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial hpartial y = f'(xy) cdot x

Resposta

As derivadas parciais de $ h(x, y) = f(xy) $ são:
h(x, y) = f(xy)
e
partial hpartial x = y cdot f'(xy)

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