Sejam f e g funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a x e y das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções $ f $ e $ g $ que são diferenciáveis, e precisamos encontrar as derivadas parciais de $ h(x, y) = f\left(\frac{x}{y}\right) $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso envolve um pouco de cálculo diferencial, especificamente o uso da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $. Para isso, identificamos que $ h(x, y) = f\left(\frac{x}{y}\right) $ é uma composição de funções. Vamos chamar $ u = \frac{x}{y} $, então $ h = f(u) $.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ h $ em relação a $ x $ é a derivada de $ f $ em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $:
h

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $, já que $ u = \frac{x}{y} $:
partial upartial x
Portanto:
u = xy

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $. Novamente, usando $ u = \frac{x}{y} $, aplicamos a regra da cadeia:
h

Passo 6

Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
partial upartial y
Assim:
partial upartial y = partialpartial y(xy) = -xy^2

Resposta

As derivadas parciais de $ h(x, y) = f\left(\frac{x}{y}\right) $ são:
h(x, y) = f(xy)
e
partial hpartial x = f'(xy)y

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