Sejam
e
funções reais deriváveis. Calcule a derivada em relação a
e
das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções $ f $ e $ g $ que são diferenciáveis, e precisamos encontrar as derivadas parciais de $ h(x, y) = f\left(\frac{x}{y}\right) $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso envolve um pouco de cálculo diferencial, especificamente o uso da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial x} $. Para isso, identificamos que $ h(x, y) = f\left(\frac{x}{y}\right) $ é uma composição de funções. Vamos chamar $ u = \frac{x}{y} $, então $ h = f(u) $.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ h $ em relação a $ x $ é a derivada de $ f $ em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $, já que $ u = \frac{x}{y} $:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $. Novamente, usando $ u = \frac{x}{y} $, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Assim:
Resposta
As derivadas parciais de $ h(x, y) = f\left(\frac{x}{y}\right) $ são:
e