Use o exercício anterior para mostrar que: se f e g são funções contínuas num ponto x=a, deriváveis numa vizinhança de a onde g^{\prime}(x) \neq 0, se f(a)=g(a)=0 e se \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} existe, então o limite de f / g quando x tende a a também existe e
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
Este resultado, chamado Regra de L’Hôpital, vale também nos casos em que a= \pm \infty e para as indeterminaçōes do tipo \infty / \infty.

Passo 1

O enunciado pede para provar a Regra de L’Hôpital no caso de indeterminação 0/0: sejam f e g contínuas em x=a, diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), com g'(x) \neq 0 nessa vizinhança, e tais que
f(a)=g(a)=0
e exista
L=\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Queremos mostrar que
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}
existe e é igual a L. A ideia central é usar o Teorema do Valor Médio de Cauchy (exercício anterior).

Passo 2

Para x\neq a suficientemente próximo de a, aplique o Teorema de Cauchy no intervalo que tem extremos a e x. Ele garante a existência de um ponto c entre a e x tal que
\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} =\frac{f'\text{(c)}}{g'\text{(c)}}.
Como f(a)=g(a)=0, isso se reduz a
\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f'\text{(c)}}{g'\text{(c)}}.

Passo 3

Quando x\to a, o ponto c fica preso entre x e a, logo também c\to a. Como sabemos que
\lim_{u\to a}\frac{f'(u)}{g'(u)}=L,
seguem-se as igualdades de limites
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'\text{(c)}}{g'\text{(c)}} = \lim_{c\to a}\frac{f'\text{(c)}}{g'\text{(c)}} = L.

Resposta

\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}

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