Use o exercício anterior para mostrar que: se
e
são funções contínuas num ponto
, deriváveis numa vizinhança de
onde
, se
e se
existe, então o limite de
quando
tende a
também existe e
Este resultado, chamado Regra de L’Hôpital, vale também nos casos em que
e para as indeterminaçōes do tipo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a Regra de L’Hôpital no caso de indeterminação
: sejam
e
contínuas em
, diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), com
nessa vizinhança, e tais que
e exista
Queremos mostrar que
existe e é igual a
. A ideia central é usar o Teorema do Valor Médio de Cauchy (exercício anterior).
Passo 2
Para
suficientemente próximo de
, aplique o Teorema de Cauchy no intervalo que tem extremos
e
. Ele garante a existência de um ponto
entre
e
tal que
Como
, isso se reduz a
Passo 3
Quando
, o ponto
fica preso entre
e
, logo também
. Como sabemos que
seguem-se as igualdades de limites