Sejam f e g funções diferenciáveis e alpha, beta in R. Mostre que
nabla(f g)=f nabla g+g nabla f

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a regra do produto para o gradiente de duas funções diferenciáveis f e g. O conteúdo é cálculo vetorial (gradiente) e vamos usar a definição de derivada parcial e a regra do produto univariada aplicada a cada componente do gradiente.

Passo 2

O gradiente de uma função h:R^ntoR é o vetor das derivadas parciais. Em notação, temos
nabla h = l(partialx1h,,partialx2h,dots,partialxnhr)

Passo 3

Para cada componente i do gradiente de fg, aplicamos a regra do produto das derivadas univariadas:
partialxi(f g)=f,partialxig + g,partialxif

Passo 4

Agrupando essas componentes num vetor, obtemos
nabla(fg)=l(partialx1(fg),dots,partialxn(fg)r)=l(f,partialx1g+g,partialx1f,dots,f,partialxng+g,partialxnfr)

Passo 5

Fatorando f e g em cada componente, vemos que isso é exatamente
f,l(partialx1g,dots,partialxngr)+g,l(partialx1f,dots,partialxnfr)=f,nabla g+g,nabla f

Resposta

nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f.

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