Sejam
e
funções diferenciáveis e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a regra do produto para o gradiente de duas funções diferenciáveis
e
. O conteúdo é cálculo vetorial (gradiente) e vamos usar a definição de derivada parcial e a regra do produto univariada aplicada a cada componente do gradiente.
Passo 2
O gradiente de uma função
é o vetor das derivadas parciais. Em notação, temos
Passo 3
Para cada componente
do gradiente de
, aplicamos a regra do produto das derivadas univariadas:
Passo 4
Agrupando essas componentes num vetor, obtemos
Passo 5
Fatorando
e
em cada componente, vemos que isso é exatamente