Sejam
funções definidas em um intervalo aberto
e
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
Se existirem os limites
e
então existirá o limite
.
Se existirem os limites
Passo 1
O enunciado pergunta sobre limites de funções no contexto de cálculo de limites e a regra do quociente. Sabemos que, para que
exista e seja igual a
, onde
e
, precisamos que ambos os limites
e
existam e que
.
Passo 2
Para ver que a afirmação é falsa sem impor
, basta um contraexemplo. Seja
,
,
Defina as funções
Defina as funções
Passo 3
Então temos
Passo 4
Porém
Isso mostra que a afirmação original é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.