Sejam f, g: I R funções definidas em um intervalo aberto I e a in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
Se existirem os limites lim x a f(x) e lim x a g(x) então existirá o limite lim x a f(x)g(x).

Passo 1

O enunciado pergunta sobre limites de funções no contexto de cálculo de limites e a regra do quociente. Sabemos que, para que limxto af(x)g(x) exista e seja igual a LfLg, onde Lf=limxto af(x) e Lg=limxto ag(x), precisamos que ambos os limites Lf e Lg existam e que Lgneq0.

Passo 2

Para ver que a afirmação é falsa sem impor limxto ag(x)neq0, basta um contraexemplo. Seja I=Rsetminus0, a=0,
Defina as funções
f(x)=1, g(x)=x

Passo 3

Então temos
limxto0f(x)=1, limxto0g(x)=0

Passo 4

Porém
f(x)g(x)=1x não tem limite finito quando xto0. Logo, apesar de lim f e lim g existirem, limfg não existe.
Isso mostra que a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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