Suponha que
lim x p f(x)=L
Para cada um dos possíveis resultados, encontre um exemplo e uma hipótese sobre f que garanta dito resultado.

Passo 1

O enunciado diz que limxto pf(x)=L e pede que a gente dê exemplos nos três cenários possíveis para o valor de f(p): igual a L, diferente de L e indefinido. Vamos usar definição de limite e noções de continuidade e domínio da função.

Passo 2

Exemplo de f(p)=L: basta escolher uma função contínua em p. Por exemplo, defina f(x)=x e tome p=2. Aí limxto2f(x)=2 e f(2)=2. A hipótese que garante isso é: “ f está definida em p e é contínua em p (isto é, f(p)=L)”.

Passo 3

Exemplo de f(p)neq L: remova a continuidade mas mantenha f(p) no domínio. Por exemplo,
segue abaixo a definição de f:
f(x)=x,&xneq0,1,&x=0

Passo 4

Então limxto0f(x)=0, mas f(0)=1. A hipótese é: “ f está definida em p, mas f(p) não coincide com o limite L (discontinuidade removível com valor no ponto diferente de L)”.

Passo 5

Exemplo de f(p) indefinido: remova p do domínio. Por exemplo,
f(x)=sin xx, xneq0,

Passo 6

sem definir f(0). Aí limxto0f(x)=1, porém f(0) não existe. A hipótese é: “ p não está no domínio de f (função não definida em p)”.

Resposta

Os três resultados possíveis para f(p) quando limxto pf(x)=L são:
  1. f(p)=L, se f estiver definida e for contínua em p.
  2. f(p)neq L, se f estiver definida em p mas atribuir um valor diferente de L (discontinuidade removível com valor no ponto diferente).
  3. f(p) indefinido, se p não pertencer ao domínio de f.

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