Sejam
funções definidas em um intervalo aberto
e
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
Se existir o limite
e não existir o limite
então não existirá o limite
.
Se existir o limite
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas funções f,g: I→ℝ definidas em um intervalo aberto I e um ponto a∈I. A afirmação a verificar é: se existe
e não existe
. O assunto é limites de funções; vamos precisar das propriedades de limites e de um contra-exemplo para testar a negação da afirmação.
Passo 2
Para refutar a afirmação, apresentamos o seguinte contra-exemplo:
Definimos
Observamos que para
,
, então
e
está bem definida em
.
Passo 3
Verificação dos limites:
$$\Longrightarrow
\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$$
Aqui temos existe,
não existe, mas
existe. Portanto a afirmação é refutada por esse contra-exemplo.
Aqui temos
Resposta
A afirmação é falsa.