Sejam f, g: I R funções definidas em um intervalo aberto I e a in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
Se existir o limite lim x a f(x) e não existir o limite lim x a g(x) então não existirá o limite lim x a f(x)g(x).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas funções f,g: I→ℝ definidas em um intervalo aberto I e um ponto a∈I. A afirmação a verificar é: se existe limxto af(x) e não existe limxto a tfracf(x)g(x). O assunto é limites de funções; vamos precisar das propriedades de limites e de um contra-exemplo para testar a negação da afirmação.

Passo 2

Para refutar a afirmação, apresentamos o seguinte contra-exemplo:
I = (-1,1), a = 0
Definimos
f(x) = 0 forall xin I,
g(x) = sinl(1/xr) + 2, & x neq 0, 0, & x = 0
Observamos que para xneq 0, g(x)in[1,3], então g(x)neq 0 e f/g está bem definida em Isetminus0.

Passo 3

Verificação dos limites:
limxto0 f(x) = limxto0 0 = 0
limxto0 g(x) não existe, pois sinl(1/xr) oscila entre [-1,1]n
$$\Longrightarrow
\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$$
Aqui temos f(x)g(x) = 0sinl(1/xr) + 2 = 0 existe, Longrightarrow limxto0 f(x)g(x) = 0 não existe, mas lim f(x) existe. Portanto a afirmação é refutada por esse contra-exemplo.

Resposta

A afirmação é falsa.

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