Sejam f, g: I R funções definidas em um intervalo aberto I e a in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
Se existirem os limites lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x) então existirá o limite lim x a f(x).

Passo 1

O enunciado trata da existência de limites laterais e do limite bilateral de uma função fcolon ItoR num ponto ain I. Vamos lembrar que, por definição, limxto af(x) existe se e somente se existem ambos os limites laterais limxto a^-f(x) e limxto a^+f(x) e eles são iguais.

Passo 2

A afirmação dada ignora a exigência da igualdade dos limites laterais. Para mostrar que ela é falsa, basta um contra-exemplo. Seja I=(-1,1), a=0 e defina
f(x)= 0,&x<0, 1,&x>0

Passo 3

Nesse caso temos limxto0^-f(x)=0 e limxto0^+f(x)=1, ambos existem mas são diferentes. Logo limxto0f(x) não existe, pois os limites laterais não coincidem.

Resposta

Falsa. Basta o contra-exemplo acima.

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