Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3 e^2t
O conteúdo envolve encontrar a solução geral usando a soma da solução homogênea (via equação característica) e uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Solução homogênea: consideramos
yh'' - 2yh' - 3yh = 0
e montamos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo em r, obtemos r=3 e r=-1, logo
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Solução particular: como o termo de forçamento é 3e^2t e r=2 não é raiz da característica, propomos
yp(t) = A e^2t,
onde A é constante a determinar. Calculando derivadas,
yp' = 2A e^2t, yp'' = 4A e^2t
Substituindo na equação original:
(4A - 2cdot2A - 3A)e^2t = (4A - 4A - 3A)e^2t = -3A e^2t = 3e^2t
Logo -3A = 3 e A = -1. Assim,
yp(t) = -e^2t

Passo 4

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - e^2t

Resposta

y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - e^2t

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