Sejam
. Suponha
e que
para todo
é um real fixo. Prove que:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais $ F $ e $ G $ que vão de um intervalo $ I $ para o espaço tridimensional $ \mathbb{R}^{3} $. Sabemos que quando $ t $ se aproxima de $ t_{0} $, $ F(t) $ tende a zero, ou seja, $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) = 0 $. Além disso, a norma de $ G(t) $ é limitada por um número real positivo fixo $ M $ para todo $ t $ no intervalo $ I $. O que precisamos provar são duas coisas:
(a) Que o limite do produto escalar de $ F(t) $ e $ G(t) $ quando $ t $ tende a $ t_{0} $ é zero.
(b) Que o limite do produto vetorial de $ F(t) $ e $ G(t) $ quando $ t $ tende a $ t_{0} $ também é zero.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), que envolve o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores $ F(t) $ e $ G(t) $ em $ \mathbb{R}^{3} $ é definido como:
Onde $ F_1, F_2, F_3 $ são as componentes de $ F(t) $ e $ G_1, G_2, G_3 $ são as componentes de $ G(t) $.
Passo 3
Sabemos que $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) = 0 $. Isso significa que cada componente de $ F(t) $ tende a zero quando $ t $ se aproxima de $ t_{0} $. Ou seja:
Também sabemos que $ |G(t)| \leq M $ para todo $ t $ em $ I $, onde $ M $ é um número real fixo positivo. A norma $ |G(t)| $ é a magnitude do vetor $ G(t) $, dada por:
Passo 4
Para provar que $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) \cdot G(t) = 0 $, vamos usar a propriedade que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites, desde que os limites existam.
Sabemos que $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) = 0 $ e que $ |G(t)| \leq M $.
Além disso, podemos usar a desigualdade entre o produto escalar e as normas dos vetores:
Passo 5
Substituindo a informação que temos:
Como $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} |F(t)| = 0 $, multiplicando por $ M $, que é uma constante, o limite também será zero:
Passo 6
Como o limite do módulo de $ F(t) \cdot G(t) $ é zero, isso implica que o limite de $ F(t) \cdot G(t) $ em si também é zero:
Passo 7
Agora vamos para a parte (b), que envolve o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores $ F(t) $ e $ G(t) $ em $ \mathbb{R}^{3} $ é outro vetor definido por:
Isso resulta em um vetor cujas componentes são combinações lineares das componentes de $ F(t) $ e $ G(t) $.
Passo 8
Para provar que $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) \wedge G(t) = 0 $, precisamos mostrar que cada componente do produto vetorial tende a zero.
Considerando que $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) = 0 $ e $ |G(t)| \leq M $, podemos usar uma abordagem semelhante à do produto escalar.
Sabemos que cada componente do produto vetorial é uma combinação dos produtos das componentes de $ F(t) $ com as de $ G(t) $. Como $ F(t) $ tende a zero, cada uma dessas combinações também tenderá a zero.
Passo 9
Mais formalmente, podemos usar a desigualdade para o produto vetorial:
Como já vimos, $ |G(t)| \leq M $ e $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} |F(t)| = 0 $, então:
Passo 10
Assim, se a norma do produto vetorial tende a zero, isso implica que o próprio produto vetorial tende ao vetor zero:
Resposta
(a) $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) \cdot G(t) = 0 $
(b) $ \lim_{t \rightarrow t_{0}} F(t) \wedge G(t) = 0 $